Arrel de la unitat

En matemàtiques, les arrels enèsimes de la unitat, o nombres de de Moivre, són tots els nombres complexos que donen 1 al ser elevats a l'exponent donat n. Es localitzen tots sobre la circumferència goniomètrica del pla complex, i en aquest pla formen els vèrtex d'un polígon regular de n costats amb un vèrtex sobre el nombre real 1.

Definició

Les arrels cúbiques de la unitat

Gràfica de z³-1, en què l'arrel es representa pel color negre.

Gràfica de z⁵-1, en què l'arrel es representa pel color negre.

Una arrel n-èsima de la unitat, amb n natural, és un nombre complex, z, que satisfà l'equació

$z^{n}=1\,.$.

Les arrels segones es diuen arrels quadrades, i les arrels terceres es diuen arrels cúbiques.

Una arrel n-èsima de la unitat z es diu primitiva si

$z^{k}\neq 1\qquad \forall k\in \{1,2,3,\dots ,n-1\}\,.$

Hi ha n arrels n-èsimes de la unitat diferents:

$z^{k}\qquad (k=1,2,3,\dots ,n)\,,$

on z és qualsevol arrel n-èsima de la unitat primitiva. Les arrels n-èsimes primitives de la unitat són aquelles z^k per les que k i n són coprimers.

Exemples

Una arrel n-èsima primitiva de la unitat és

$e^{\frac {2\pi i}{n}}\,,$

perquè

$(e^{2\pi i \over n})^{k}=e^{2\pi ik \over n}\neq 1\qquad (k=1,2,3,\dots ,n-1)\,,$

i

$(e^{2\pi i \over n})^{n}=e^{2\pi i}=1\,,$

segons la identitat d'Euler.

El nombre (+1) és una arrel quadrada de la unitat perquè (+1)² = 1, peró no és una arrel quadrada primitiva de la unitat perquè (+1)¹ = 1. Per tant (+1) només és una arrel primera primitiva de la unitat. El nombre (−1) és una arrel quadrada primitiva de la unitat perquè (−1)¹ ≠ 1 i (−1)² = 1. Per a n>2, les arrels primitives n-èsimes de la unitat són nombres complexos no reals.

Les dues arrels cúbiques primitives de la unitat són

$\left\{e^{2\pi i \over 3},e^{-2\pi i \over 3}\right\}=\left\{{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\},$

on $i$ és la unitat imaginària.

Les dues arrels quartes primitives de la unitat són

$\left\{e^{2\pi i \over 4},e^{-2\pi i \over 4}\right\}=\left\{+i,-i\right\}.$

Les quatre arrels quintes primitives de la unitat són

$\left\{e^{2\pi ik \over 5}|k\in \{1,-1,2,-2\}\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}.$

Les dues arrels sisenes primitives de la unitat són

$\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$

Una arrel vuitena primitiva de la unitat és

${\sqrt {i}}=e^{2\pi i/8}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.$

Vegeu heptadecàgon per la part real de d'una arrel dissetena primitiva de la unitat.

Periodicitat

Si z és una arrel n-èsima primitiva de la unitat, llavors la successió de potències

... , z⁻¹, z⁰, z¹, ...

és n-periòdica, (perquè z ^j+n = z ^j⋅zⁿ = z ^j⋅1 = z ^j per a tots els valors de j), i les n successions de potències

... , z ^k⋅(−1), z ^k⋅0, z^k⋅1, ... (per k = 1,...,n),

Són totes n-periòdiques. Aquestes n successions tenen a més la propietat de la independència lineal. Això vol dir que qualsevol successió de nombres complexosn-periòdica

... , x₋₁ , x₀ , x₁ , ...

Es pot expressar com una combinació lineal de potències d'una arrel nèssima primitiva de la unitat:

x _j = Σ_k X_k⋅z^k⋅j = X₁⋅z^1⋅j + ... + X_n⋅z^n⋅j .

Aquesta és una forma d'Anàlisi de Fourier. Si j és una variable temporal (discreta), llavors k és una freqüència i X_k és una amplitud complexa.

Triar per a l'arrel primitiva nèssima de la unitat

z = e^i⋅2⋅π/n = cos(2π/n) + i⋅sin(2π/n)

Permet que x _j s'expressi com una combinació lineal de cosinus i de sinus

x _j = Σ_k A_k⋅cos(2πjk/n) + Σ_k B_k⋅sin(2πjk/n).

Aquesta és una transformada discreta de Fourier.

Sumatori

Les arrels nèssimes de la unitat se sumen d'acord amb la fórmula de la sèrie geomètrica. (Aquest sumatori és un cas especial del sumatori de Gauss.) Per n > 1:

$\sum _{k=0}^{n-1}z^{k}={\frac {z^{n}-1}{z-1}}=0.$

on z és una arrel nèssima primitiva de la unitat. Per a n = 1, el sumatori només té un terme: z⁰=1.

Ortogonalitat

A partir de la formula del sumatori se'n dedueix una relació d'ortogonalitat: per a j = 1, ..., n i j ' = 1, ..., n

$\sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}$

on $\delta$ és la delta de Kronecker i z és qualsevol arrel n-èsima primitiva de la unitat.

La matriu $n\times n$$\ U$ l'element $(j,k)$-èsim de la qual és

$U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}$

Defineix una transformada discreta de Fourier. Per calcular la transformació inversa, si es fa servir el Mètode del pivot, calen O(n³) operacions. Però, a partir de la ortogonalitat resulta que U és unitària. És a dir,

$\sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},$

I per tant la inversa de U és senzillament la complexa conjugada. Aquest fet va ser observat per primer cop per Gauss en resoldre el problema de la interpolació trigonomètrica. L'aplicació directa de U o la seva inversa a un vector donat requereix O(n²) operacions. Els algorismes de la transformada ràpida de Fourier redueixen encara més el nombre d'operacions fins a O(n log n).

Vegeu també

• Grup cíclic
• Grup circular
• Arrel primitiva mòdul n
• Caràcter de Dirichlet
• Polinomi ciclotòmic
• Extensió ciclotòmica

Referències

• Lang, Serge. Algebra (en anglès). 3a. ed.. Nova York: Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95385-X. 
• Milne, James S. «Algebraic Number Theory» (en anglès). Course Notes, 1998.
• Milne, James S. «Class Field Theory» (en anglès). Course Notes, 1997.
• Neukirch, Jürgen. Algebraische Zahlentheorie (en alemany). Reedició. Berlín: Springer-Verlag, 2007 (Lehrbuch Masterclass). ISBN 978-3-540-37547-0. 
• Neukirch, Jürgen. Class Field Theory (en anglès). Berlín: Springer-Verlag, 1986. ISBN 3-540-15251-2. 
• Washington, Lawrence C. Introduction to cyclotomic fields (en anglès). 2a. ed.. Nova York: Springer-Verlag, 1997 (Graduate Texts in Mathematics; 83). ISBN 0-387-94762-0. 
• Derbyshire, John. «Roots of Unity». A: Unknown Quantity (en anglès). Washington DC: Joseph Henry Press, 2006. ISBN 0-309-09657-X.