Esfera de Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
L'esfera de Riemann es pot imaginar com el pla complex embolcallant una esfera (amb un tipus de projecció estereogràfica).

En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle XIX Bernhard Riemann, és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un punt a l'infinit. L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos \mathbb{C} \cup \{\infty\}, que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol \infty que representa l'infinit.

Aquesta extensió dels nombres complexos és útil en anàlisi complexa perquè permet la divisió per zero en certes condicions, d'una manera que fa que igualtats com \frac{1}{0} = \infty tinguin un bon comportament. Per exemple, qualsevol funció racional del pla complex es pot estendre a una funció contínua a l'esfera de Riemann, en la qual la imatge dels pols de la funció racional és l'infinit. En general, qualsevol funció meromorfa es pot entendre com una funció contínua el codomini de la qual és l'esfera de Riemann.

En geometria, l'esfera de Riemann és l'exemple prototípic d'una superfície de Riemann i és una de les varietats complexes més simples. En geometria projectiva, l'esfera pot veure's com la recta projectiva complexa \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), l'espai projectiu format per totes les rectes complexes de \mathbb{C}^2. Com la resta de superfícies de Riemann compactes, l'esfera també es pot obtenir com a corba algebraica projectiva, que serveix com a exemple fonamental en la geometria algebraica. També té utilitat en altres disciplines que depenen de l'anàlisi i la geometria, com ara la mecànica quàntica i altres branques de la física.

Com a extensió dels nombres complexos[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

L'esfera de Riemann és el conjunt \mathbb{C} \cup \{\infty\} amb les propietats usuals dels nombres complexos i, a més, les propietats algebraiques relacionades amb l'infinit que s'exposen tot seguit.[1] Per qualsevol nombre complex a:

  1. \infty + a = a + \infty = \infty
  2. si a \neq 0, aleshores \infty \cdot a = a \cdot \infty = \infty \cdot \infty = \infty
  3. si a \neq 0, aleshores \frac{a}{\infty} = 0 i \frac{a}{0} = \infty

Noció de l'infinit[modifica | modifica el codi]

En el sentit complex es fa servir tan sols un infinit, denotat pel signe \infty. No passa com en el cas real, en què hi ha un «menys infinit», sinó que -\infty = \infty i infinit és, en general, el límit dels nombres complexos quan el seu mòdul creix il·limitadament.

L'infinit es defineix de manera que es puguin tractar algebraicament els conceptes de límit a l'infinit, límit igual a infinit i la combinació dels dos anteriors (límit a l'infinit igual a infinit). Així, amb la definició donada, es poden aplicar regles com «límit de la suma = suma dels límits» (o anàlogament amb el producte i la divisió) sempre que les operacions estiguin definides. Per exemple, si \lim_{z \to z_{0}}f(z) = \infty i \lim_{z \to z_{0}}g(z) = a, llavors \lim_{z \to z_{0}}(f(z) + g(z)) = \infty + a = \infty. En canvi, si tant f com g tenen límit \infty no es pot aplicar la regla ja que l'operació \infty + \infty no està definida, i s'haurà d'estudiar el límit més detingudament.[1] Intuïtivament, l'infinit és l'horitzó del pla complex.

Funcions racionals[modifica | modifica el codi]

Qualsevol funció racional f(z) = g(z)/h(z) es pot estendre a una funció contínua a l'esfera de Riemann. Per fer-ho, si z_0 és un nombre complex tal que el denominador h(z_0) és zero però el numerador g(z_0) és diferent de zero, es defineix f(z_0) com ∞ (si tant el numerador com el denominador són zero, llavors comparteixen un factor comú i es pot simplificar la fracció). A més, es defineix f(∞) com el límit de f(z) quan z → ∞, que pot ser finit o infinit.

Per exemple, donada la funció

f(z) = \frac{6z + 1}{2z - 10}

es defineix f(5) = ∞, ja que el denominador és zero quan z = 5, i f(∞) = 3, ja que f(z) → 3 quan z → ∞. Amb aquestes definicions, f esdevé una funció contínua de l'esfera de Riemann a si mateixa.

Quan es mira com a varietat complexa, aquestes funcions racionals són, de fet, funcions holomorfes de l'esfera de Riemann a si mateixa.

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Esfera de Riemann Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. 1,0 1,1 Beck, Matthias [et al]. A First Course in Complex Analysis (PDF). Versió 1.31 (en anglès), p. 29-30 [Consulta: 3 març 2012].