Segment circular

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un segment circular o segment d'un cercle és en geometria la porció d'un cercle limitada per una corda i el arc corresponent.

Fórmules[modifica | modifica el codi]

Un segment circular (en verd) està comprès entre una assecant o corda (la línia discontínua) i l'arc els punts extrems són els de la corda.

Sigui R el radi del cercle, θ l'angle central, c la longitud de la corda, s la longitud de l'arc, h l'alçada del segment circular, i d l'altura de la porció triangular.

  • El radi és  R = h+d \frac{}{}
  • La longitud de l'arc és s = R \cdot \theta on  \theta \, està en radians.
  • La longitud de la corda és  c = 2R \sin \frac{\theta}{2}= R \sqrt{2-2 \cos \theta}
  • L'altura és  h = R (1 - \cos \frac{\theta}{2})
  • L'angle és  \theta = 2 \arccos \frac{d}{R}

Àrea[modifica | modifica el codi]

L'àrea del segment circular és igual a l'àrea del sector circular menys l'àrea de la porció triangular.

 A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi}- \frac{R^2 \sin \theta}{2}= \frac{R^2}{2} \left (\theta - \sin \theta \right)
Demostració alternativa
L'àrea del sector circular és:  A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi}= \frac{R^2 \cdot \theta}{2}

Si es bisecciona l'angle \theta, i per tant la porció triangular, s'obtenen dos triangles amb àrea total:

 R \sin \frac{\theta}{2}\cdot R \cos \frac{\theta}{2}= R^2 \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}

Atès que l'àrea del segment és l'àrea del sector menys l'àrea de la porció triangular, s'obtenen

 A = R^2 \left (\frac{\theta}{2}- \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}\right)

D'acord amb la identitat trigonomètrica d'angle doble  \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \, , per tant:

\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \sin\theta

amb el que resulta que l'àrea és:  A = R^2 \left (\frac{\theta}{2}- \frac{1}{2}\sin \theta \right) = \frac{R^2}{2} \left ( \theta - \sin \theta \right)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]