Segment circular

Un segment circular o segment d'un cercle és en geometria la porció d'un cercle limitada per una corda i el arc corresponent.

Fórmules

Un segment circular (en verd) està comprès entre una assecant o corda (la línia discontínua) i l'arc els punts extrems són els de la corda.

Sigui R el radi del cercle, θ l'angle central, c la longitud de la corda, s la longitud de l'arc, h l'alçada del segment circular, i d l'altura de la porció triangular.

• El radi és $R = h+d \frac{}{}$
• La longitud de l'arc és $s = R \cdot \theta$ on $\theta \,$ està en radians.
• La longitud de la corda és $c = 2R \sin \frac{\theta}{2}= R \sqrt{2-2 \cos \theta}$
• L'altura és $h = R (1 - \cos \frac{\theta}{2})$
• L'angle és $\theta = 2 \arccos \frac{d}{R}$

Àrea

L'àrea del segment circular és igual a l'àrea del sector circular menys l'àrea de la porció triangular.

$A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi}- \frac{R^2 \sin \theta}{2}= \frac{R^2}{2} \left (\theta - \sin \theta \right)$

Demostració alternativa

L'àrea del sector circular és: $A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi}= \frac{R^2 \cdot \theta}{2}$

Si es bisecciona l'angle $\theta$, i per tant la porció triangular, s'obtenen dos triangles amb àrea total:

$R \sin \frac{\theta}{2}\cdot R \cos \frac{\theta}{2}= R^2 \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}$

Atès que l'àrea del segment és l'àrea del sector menys l'àrea de la porció triangular, s'obtenen

$A = R^2 \left (\frac{\theta}{2}- \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}\right)$

D'acord amb la identitat trigonomètrica d'angle doble $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \,$, per tant:

$\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \sin\theta$

amb el que resulta que l'àrea és: $A = R^2 \left (\frac{\theta}{2}- \frac{1}{2}\sin \theta \right) = \frac{R^2}{2} \left ( \theta - \sin \theta \right)$

Vegeu també

• Cònica
• Secció (matemàtica)
• Casquet esfèric, anàleg tridimensional

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., "Segment circular" a MathWorld (en anglès).
• Definició d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)
• Fórmula per l'àrea d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)