Equació diferencial lineal

En matemàtiques, una equació diferencial lineal és de la forma

$Ly=f\,$

on l'operador diferencial L és un operador lineal, y és la funció desconeguda (per exemple una funció del temps y(t)), i el terme de la dreta ƒ és una funció donada de la mateixa natura que y. Per a una funció dependent del temps es pot escriure l'equació com

$Ly(t)=f(t)\,$

i, fins i tot més precisament

$L[y(t)]=f(t)\,$

L'operador lineal L es pot considerar de la forma.

$L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y\,$

La condició de linealitat de L exclou operacions com el quadrat de la derivada de y; però admet, per exemple, la derivada segona de y . És convenient reescriure aquesta equació en forma d'operador

$L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(t)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(t)D+A_{n}(t)\right]y$

on D és l'operador diferencial d/dt (és a dir Dy = y, D ²y = y"... ), i A_n són funcions donades.

Tal equació es diu que té ordre n, l'índex de la derivada més alt de y.

Un exemple simple típic és l'equació diferencial lineal que es fa servir per modelitzar la decadència radioactiva. Sia N(t) el nombre d'àtoms radioactius en alguna mostra de material (com una porció del drap del sudari de Torí) en el moment t. Llavors per a alguna constant k > 0, el nombre d'àtoms radioactius que es descomponen es pot modelar per

${\frac {dN}{dt}}=-kN\,$

Si y és se suposa que és una funció de només una variable, es parla de una equació diferencial ordinària, si les derivades i els seus coeficients s'entenen com (contrets) vectors, matrius o tensors de rang superior, es té una equació diferencial en derivades parcials (lineal).

El cas on ƒ = 0 s'anomena una equació homogènia i les seves solucions s'anomenen funcions complementàries. És especialment important per la solució del cas general, ja que qualsevol funció complementària es pot afegir a una solució de l'equació no homogènia per donar una altra solució (per un mètode tradicionalment anomenat integral particular i funció complementària ). Quan els A_i són nombres, l'equació es diu que té coeficients constants .

Equacions homogènies amb coeficients constants

El primer mètode de resoldre equacions diferencials lineals ordinàries amb coeficients constants és degut a Euler, que es va adonar que les solucions tenen la forma $e^{zx}$, per a valors possiblement complexos de $z$. La funció exponencial és una de les poques funcions que conserven la mateixa forma despres de calcular-ne la derivada. Per tal que la suma de múltiples derivades d'una funció doni zero, les derivades s'han de cancel·la mútuament i l'única manera que facin això és que les derivades tinguin la mateixa forma de la funció inicial. Així, per resoldre

$y^{(n)}+A_{1}y^{(n-1)}+\cdots +A_{n}y=0$

posem $y=e^{zx}$, el que porta a

$z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.$

Dividint entre e  ^zx dóna l'equació polinòmica de grau n

$F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,$

Aquesta equació algebraica F (z) = 0, és l' equació característica estudiada més tard permonge i Cauchy.

Formalment, els termes

$y^{(k)}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).$

de l'equació diferencial original són substituïts per z ^k. Resolent l'equació polinòmica s'obtenen n valors de z, z ₁, ..., z _n . Substituint qualsevol d'aquells valors per z a e  ^zx dóna una solució e^{z_i x}. Com que que les equacions diferencials lineals homogènies obeeixen el principi superposició, qualsevol combinació lineal d'aquestes funcions també satisfà l'equació diferencial.

Quan aquestes arrels són completament diferents, es tenen n solucions diferents de l'equació diferencial. Es pot demostrar que aquestes són linealment independents, aplicant el determinant de Vandermonde, i totes juntes formen una base de l'espai de totes les solucions de l'equació diferencial.

Exemples
$y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0\,$ Té l'equació característica $z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.\,$ Els seus zeros són, i, −i, i 1 (multiplicitat 2). La solució base és llavors $e^{ix},\,e^{-ix},\,e^{x},\,xe^{x}\,.$ Això correspon solució base amb valors reals $\cos x,\,\sin x,\,e^{x},\,xe^{x}\,.$

El precedent dona una solució per al cas en que tots els zeros són diferents, és a dir, cada un té multiplicitat 1. Per al cas general, si z és un zero (o arrel) (possiblement complexa) de F(z) i té multiplicitat m, llavors, per $k\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,$, $y=x^{k}e^{zx}\,$ és una solució de l'EDO. Aplicant això a totes les arrels dóna una col·lecció de n funcions diferents i linealment independents, on n és el grau de F (z) . Com abans, aquestes funcions constitueixen una base de l'espai solució.

Si els coeficients A_i de l'equació diferencial són reals, llavors en general les solucions reals són preferibles. Com que les arrels no reals z venir en parelles de complexos conjugats, també les seves funcions base corresponents x^ke^zx, i el resultat desitjat s'obté canviant cada parell per la combinació lineal dels valors reals de la seva part real la seva part imaginaria.

Un cas que impliqui arrels complexes es pot resoldre amb l'ajut de La fórmula d'euler.

Exemples

Donat $y''-4y'+5y=0\,$. L'equació característica és $z^{2}-4z+5=0\,$ que té zeroes 2+ ii 2− i. Així la solució base $\{y_{1},y_{2}\}$ és $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,$. Ara y és una solució si i només si $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,$ per a $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$.

Com que els coeficients són reals,

• Probablement no hi ha interes en les solucions complexes
• els elements base són mútuament conjugats

Les combinacions lineals

$u_{1}={\mbox{Re}}(y_{1})={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}=e^{2x}\cos(x)\,$ i

$u_{2}={\mbox{Im}}(y_{1})={\frac {y_{1}-y_{2}}{2i}}=e^{2x}\sin(x)\,$

donaran una base real en $\{u_{1},u_{2}\}$.

Oscil·lador harmònic simple

L'equació diferencial de segon ordre

$D^{2}y=-k^{2}y\,$

que representa un moviment harmònic simple, es pot reformular com

$(D^{2}+k^{2})y=0.\,$

L'expressió en parèntesi es pot descompondre en factors, donat

$(D+ik)(D-ik)y=0\,$

que té un parell de solucions linealment independents, una per

$(D-ik)y=0\,$

i un altre per

$(D+ik)y=0.\,$

Les solucions són, respectivament,

$y_{0}=A_{0}e^{ikx}\,$

i

$y_{1}=A_{1}e^{-ikx}.\,$

Aquestes solucions proporcionen una base per l'"espai solució" bidimensional de l'equació diferencial de segon ordre: El que vol dir que les combinacions lineals d'aquestes solucions també seran solucions. En particular, es poden construir les solucions següents

$y_{0'}={A_{0}e^{ikx}+A_{1}e^{-ikx} \over 2}=C_{0}\cos(kx)\,$

i

$y_{1'}={A_{0}e^{ikx}-A_{1}e^{-ikx} \over 2i}=C_{1}\sin(kx).\,$

Aquestes dues últimes solucions trigonomètriques són linealment independents, per tant poden servir per un altra base per l'espai de solució, produint la solució general següent:

$y_{H}=C_{0}\cos(kx)+C_{1}\sin(kx).\,$

Dscil·lador harmònic esmorteït

Given the equation for the damped harmonic oscillator:

Donat l'equació per a l'oscil·lador harmònic humitejat:

$\left(D^{2}+{b \over m}D+\omega _{0}^{2}\right)y=0,$

the expression in parentheses can be factored out: first obtain the characteristic equation by replacing D with λ. This equation must be satisfied for all y, thus:

l'expressió en parèntesis pot ser factored out fora: primer obtenir l'equació característica reemquadratnt D amb λ;. Aquesta equació ha de ser satisfeta per a tot y, així:

$\lambda ^{2}+{b \over m}\lambda +\omega _{0}^{2}=0.$

Solve using the quadratic formula:

Resolgui fa servirnt la fórmula quadràtica:

$\lambda ={-b/m\pm {\sqrt {b^{2}/m^{2}-4\omega _{0}^{2}}} \over 2}.$

Use these data to factor out the original differential equation:

Utilitzi aquestes dades a factor fora l'equació diferencial original:

$\left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)\left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0.$

This implies a pair of solutions, one corresponding to

Això implica un parell de solucions, corresponent-se un a

$\left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0$

and another to

i un altre a

$\left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0$

The solutions are, respectively,

Les solucions són, respectivament

$y_{0}=A_{0}e^{-\omega x+{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{0}e^{-\omega x}e^{{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}$

and

i

$y_{1}=A_{1}e^{-\omega x-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{1}e^{-\omega x}e^{-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}$

where ω = b / 2m. From this linearly independent pair of solutions can be constructed another linearly independent pair which thus serve as a basis for the two-dimensional solution space:

on ω; = b / 2 m . Des d'aquest parell linealment independent de solucions pot ser construït un altre parell linealment independent que així serveixen com a base per l'espai de solució bidimensional:

$y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sinh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x+A_{1}\cosh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.$

However, if |ω| < |ω₀| then it is preferable to get rid of the consequential imaginaries, expressing the general solution as

Tanmateix, si|ω;| < |ω;₀| llavors és preferible aconseguir lliurar dels imaginaries consequential, expressant la solució general com

$y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sin {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x+A_{1}\cos {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.$

This latter solution corresponds to the underdamped case, whereas the former one corresponds to the overdamped case: the solutions for the underdamped case oscillate whereas the solutions for the overdamped case do not.

Aquesta última solució correspon al cas d'underdamped, mentre que l'anterior correspon al cas sobrehumitejat: les solucions per al cas d'underdamped oscil·len mentre que les solucions per al cas sobrehumitejat fan no.

Equació no homogènia amb coeficients constants

To obtain the solution to the non-homogeneous equation (sometimes called inhomogeneous equation), find a particular solution y_P(x) by either the method of undetermined coefficients or the method of variation of parameters; the general solution to the linear differential equation is the sum of the general solution of the related homogeneous equation and the particular solution.

Obtenir la solució al equació no homogènia (a vegades anomenat equació inhomogeneous), troba una solució particular y _P (x) o pel mètode de coeficients irresoluts o pel mètode de variació de parameters; la solució general a l'equació diferencial lineal és la suma de la solució general de l'equació homogènia relacionada i la solució particular.

Suppose we face

Suposi que mirem

${\frac {d^{n}y(x)}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y(x)}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y(x)=f(x).$

For later convenience, define the characteristic polynomial

Per a la conveniència posterior, defineixi el polinomi característic

$P(v)=v^{n}+A_{1}v^{n-1}+\cdots +A_{n}.$

We find the solution basis $\{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x)\}$ as in the homogeneous (f(x)=0) case. We now seek a particular solution y_p(x) by the variation of parameters method. Let the coefficients of the linear combination be functions of x:

Trobem la base de solució $\{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x)\}$ com en l'homogeni (f(x)=0) cas. Ara busquem un solució particular y_p(x) pel variació de paràmetres mètode. Deixi els coeficients de la combinació lineal que és funcions de x :

$y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)y_{n}(x).$

For ease of notation we will drop the dependency on x (i.e. the various (x)). Using the "operator" notation $D=d/dx$ and a broad-minded use of notation, the ODE in question is $P(D)y=f$; so

Per a la facilitat de notació deixarem la dependència damunt x (i.e. els diversos (x) ). Utilitzant la notació d'"operador" $D=d/dx$ i un ús amplament importat de notació, l'Oda en qüestió és $P(D)y=f$; així

$f=P(D)y_{p}=P(D)(u_{1}y_{1})+P(D)(u_{2}y_{2})+\cdots +P(D)(u_{n}y_{n}).$

With the constraints

Amb les coaccions

$0=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}$

$0=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}$

$\cdots$

$0=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)}$

the parameters commute out, with a little "dirt":

els paràmetres es desplacen fora, amb una bit de "brutícia":

$f=u_{1}P(D)y_{1}+u_{2}P(D)y_{2}+\cdots +u_{n}P(D)y_{n}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

But $P(D)y_{j}=0$, therefore

Però $P(D)y_{j}=0$, per això

$f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

This, with the constraints, gives a linear system in the $u'_{j}$. This much can always be solved; in fact, combining Cramer's rule with the Wronskian,

Això, amb les coaccions, dóna un sistema lineal en el $u'_{j}$. Tant sempre es pot resoldre; de fet, combinant La regla de cramer amb el Wronskian

$u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.$

The rest is a matter of integrating $u'_{j}.$

La resta és una qüestió d'integrar $u'_{j}.$..

The particular solution is not unique; $y_{p}+c_{1}y_{1}+\cdots +c_{n}y_{n}$ also satisfies the ODE for any set of constants c_j.

La solució particular no és única; $y_{p}+c_{1}y_{1}+\cdots +c_{n}y_{n}$ també satisfà l'Oda per a qualsevol conjunt de constants c_j .

Exemple

Suppose $y''-4y'+5y=sin(kx)$. We take the solution basis found above $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}$.

Suposi $y''-4y'+5y=sin(kx)$. Prenem la base de solució trobada damunt $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}$.

$W\,$	$W\,$	$={\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x}\\(2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}$	I)x de $={\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2}\\(2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}$
		$=e^{4x}{\begin{vmatrix}1&1\\2+i&2-i\end{vmatrix}}$	$=e^{4x}{\begin{vmatrix}1&1\\2+i&2-i\end{vmatrix}}$
		$=-2ie^{4x}\,$	$=-2ie^{4x}\,$

$u'_{1}\,$	$u'_{1}\,$	$={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\\sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}$	$={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\\sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}$
		$=-{\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2-i)x}$	$=-{\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2-i)x}$

$u'_{2}\,$	$u'_{2}\,$	$={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\(2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix}}$	$={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\(2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix}}$
		$={\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.$	$={\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.$

Using the list of integrals of exponential functions

Utilitzant la llista d'integrals de funcions exponencials

$u_{1}\,$	$u_{1}\,$	$=-{\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx$	$=-{\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx$
		$={\frac {ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)$	$={\frac {ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)$

$u_{2}\,$	$u_{2}\,$	$={\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx$	$={\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx$
		$={\frac {ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).$	$={\frac {ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).$

And so

I així

$y_{p}\,$	$y_{p}\,$	$={\frac {i}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)|<Math>={\frac {i}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)+{\frac {i}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)$ +\frac{i}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)</math>
		$={\frac {(5-k^{2})\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^{2})^{2}+16}}.$	$={\frac {(5-k^{2})\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^{2})^{2}+16}}.$

(Notice that u₁ and u₂ had factors that canceled y₁ and y₂; that is typical.)

(Avís que u ₁ i u ₂ tenia factors que anul·laven y ₁ i y ₂; allò és típic.)

For interest's sake, this ODE has a physical interpretation as a driven damped harmonic oscillator; y_p represents the steady state, and $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ is the transient.

Per al motiu d'interès, aquesta Oda té una interpretació física com un oscil·lador harmònic humitejat conduït; y_p representa el règim permanent, i $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ és el transeünt.

Equació amb coeficients variables

A linear ODE of order n with variable coefficients has the general form

Una Oda lineal d'ordre n amb coeficients variables té la forma general

$p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).$

Exemples

A simple example is the Cauchy–Euler equation often used in engineering

Un exemple simple és l'Equació D'euler de CAUCHY sovint fa servirda ideant

$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.$

Equació de primer ordre

Plantilla:ExampleSidebar A linear ODE of order 1 with variable coefficients has the general form

Una Oda lineal de l'ordre 1 amb coeficients variables té la forma general

$Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).$

Equations of this form can be solved by multiplying the integrating factor

Les equacions d'aquesta forma es poden resoldre multiplicant el factor integrant

$e^{\int f(x)\,dx}$

throughout to obtain

per obtenir

$Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},$

which simplifies due to the product rule to

que simplifica a causa de la regla de producte a

$D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$

which, on integrating both sides, yields

que, integrant els dos costats, cedeix

$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,$

$y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.$

In other words: The solution of a first-order linear ODE

En altres paraules: La solució d'una Oda lineal de primer ordre

$y'(x)+f(x)y(x)=g(x),$

with coefficients that may or may not vary with x, is:

amb coeficients allò pot o pot no variar amb x, és:

$y=e^{-a(x)}\left(\int g(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)$

where $\kappa$ is the constant of integration, and

on $\kappa$ és la constant d'integració, i

$a(x)=\int {f(x)\,dx}.$

Exemples

Consider a first order differential equation with constant coefficients:

Consideri un primer ordre equació diferencial amb coeficients constants:

${\frac {dy}{dx}}+by=1.$

This equation is particularly relevant to first order systems such as RC circuits and mass-damper systems.

Aquesta equació és especialment pertinent a primers sistemes d'ordre com Rc circuits i sistemes més massius HUMITS.

In this case, p(x) = b, r(x) = 1.

En aquest cas pàg. (x) = b, r (x) = 1.

Hence its solution is

Per això la seva solució és

$y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.$

Vegeu també

• Continuous-repayment mortgage

• continu Hipoteca De Reemborsament Continu|CONTINU HIPOTECA DE REEMBORSAMENT CONTINU| Hipoteca de reemborsament continu]]
• Fourier transform

• transformació de FOURIER
• Laplace transform

• transformació de LAPLACE

Referències

• {{Citation

• Ordinary Differential Equations. Nova York: John Wiley and Sons, Inc., 1978. ISBN 0-471-07411-X. 

}}

• {{Citation

• The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, Uk.: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0521-570954. 

}}

• {{Citation

• An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge, Uk.: Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-826500. 

}}