Teoria de la representació: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 13:44, 14 oct 2021

La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que estudia les estructures algebraiques abstractes representant els seus elements com a transformacions lineals d’espais vectorials^[1] i estudia mòduls sobre aquestes estructures algebraiques abstractes.^[2] ^[3] En essència, una representació fa més concret un objecte algebraic abstracte descrivint els seus elements per matrius i les seves operacions algebraiques (per exemple, suma de matrius, multiplicació de matriu). La teoria de les matrius i dels operadors lineals es comprenen millor i, de vegades, simplifiquen els càlculs de teories més abstractes.

Els objectes algebraics susceptibles d'aquesta descripció inclouen grups, àlgebres associatius i àlgebres de Lie. La més destacada (i històricament la primera) és la teoria de la representació de grups, en què els elements d’un grup es representen mitjançant matrius invertibles de manera que l’operació de grup sigui la multiplicació de matrius.^[4] ^[5]

La teoria de la representació és un mètode útil perquè redueix els problemes de l'àlgebra abstracta a problemes en l'àlgebra lineal, un tema ben entès.^[6] A més, l'espai vectorial sobre el qual es representa un grup (per exemple) pot ser infinit-dimensional i, permetent que sigui, per exemple, un espai de Hilbert, es poden aplicar mètodes d'anàlisi a la teoria de grups.^[7] ^[8] La teoria de la representació també és important en física perquè, per exemple, descriu com el grup de simetria d’un sistema físic afecta les solucions d’equacions que descriuen aquest sistema. ^[9]

La teoria de la representació és generalitzada en els camps de les matemàtiques per dos motius. En primer lloc, les aplicacions de la teoria de la representació són diverses:^[10] a més del seu impacte en l'àlgebra, la teoria de la representació:

il·lumina i generalitza l'anàlisi de Fourier mitjançant l'anàlisi harmònica, ^[11]
està connectat a la geometria mitjançant la teoria invariant i el programa Erlangen, ^[12]
té un impacte en la teoria de nombres a través de formes automòrfiques i el programa Langlands. ^[13]

En segon lloc, hi ha diversos enfocaments de la teoria de la representació. Els mateixos objectes es poden estudiar mitjançant mètodes de geometria algebraica, teoria de mòduls , teoria de nombres analítics, geometria diferencial, teoria d'operadors, combinatòria algebraica i topologia.^[14]

L’èxit de la teoria de la representació ha provocat nombroses generalitzacions. Una de les més generals és la teoria de categories.^[15] Els objectes algebraics als quals s'aplica la teoria de la representació es poden veure com a tipus particulars de categories, i les representacions com a functors des de la categoria d'objectes fins a la categoria d'espais vectorials.^[5] Aquesta descripció apunta a dues generalitzacions òbvies: primer, els objectes algebraics es poden substituir per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu dels espais vectorials es pot substituir per altres categories ben enteses.

Referències

↑ «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 9 desembre 2019].
↑ Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998).
↑ «representation theory in nLab». ncatlab.org. [Consulta: 9 desembre 2019].
↑ Lam (1998)Borel (2001)
↑ ^5,0 ^5,1 Etingof, Pavel. «Introduction to representation theory». www-math.mit.edu, January 10, 2011. [Consulta: 9 desembre 2019].
↑ There are many textbooks on vector spaces and linear algebra. For an advanced treatment, see Kostrikin & Manin (1997).
↑ Sally & Vogan 1989.
↑ Teleman, Constantin. «Representation Theory». math.berkeley.edu, 2005. [Consulta: 9 desembre 2019].
↑ Sternberg 1994.
↑ Lam 1998, p. 372.
↑ Folland 1995.
↑ Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997.
↑ Borel & Casselman 1979, Gelbart 1984.
↑ See the previous footnotes and also Borel (2001).
↑ Simson, Skowronski & Assem 2007.

Bibliografia

Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7.
Bargmann, V. (1947), "Irreducible unitary representations of the Lorenz group", Annals of Mathematics 48 (3): 568–640, DOI 10.2307/1969129.
Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5.
Borel, Armand & Casselman, W. (1979), Automorphic Forms, Representations, and L-functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2.
Curtis, Charles W. & Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7, <https://archive.org/details/representationth11curt>.
Gelbart, Stephen (1984), "An Elementary Introduction to the Langlands Program", Bulletin of the American Mathematical Society 10 (2): 177–219, DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
Fulton, William; Harris, Joe. Representation theory. A first course. 129. Nova York: Springer-Verlag, 1991. MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6. ISBN 978-0-387-97495-8. .
Goodman, Roe & Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
James, Gordon & Liebeck, Martin (1993), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666
Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7, <https://archive.org/details/introductiontoli00jame>.
Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, vol. 21, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4
Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2.
Kac, Victor G. (1977), "Lie superalgebras", Advances in Mathematics 26 (1): 8–96, DOI 10.1016/0001-8708(77)90017-2.
Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6.
Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4.
Kim, Shoon Kyung (1999), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6.
Kostrikin, A. I. & Manin, Yuri I. (1997), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7.
Lam, T. Y. (1998), "Representations of finite groups: a hundred years", Notices of the AMS 45 (3,4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II).
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Mumford, David; Fogarty, J. & Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, vol. 34 (3rd ed.), Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55821-1.
Peter, F. & Weyl, Hermann (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Mathematische Annalen 97 (1): 737–755, doi:10.1007/BF01447892, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1>.
Pontrjagin, Lev S. (1934), "The theory of topological commutative groups", Annals of Mathematics 35 (2): 361–388, DOI 10.2307/1968438.
Sally, Paul & Vogan, David A. (1989), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7.
Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909, <https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr>.
Sharpe, Richard W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN 978-0-387-94732-7.
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej & Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7.
Sternberg, Shlomo (1994), Group Theory and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3, <https://archive.org/details/grouptheoryphysi0000ster>.
Tung, Wu-Ki. Group Theory in Physics. 1st. New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, 1985. ISBN 978-9971966577.
Weyl, Hermann (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 ed.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1.
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.
Wigner, Eugene P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics 40 (1): 149–204, DOI 10.2307/1968551.

[1] «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 9 desembre 2019].

[2] Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998).

[3] «representation theory in nLab». ncatlab.org. [Consulta: 9 desembre 2019].

[4] Lam (1998)Borel (2001)

[:0-5] 5,0 ^5,1 Etingof, Pavel. «Introduction to representation theory». www-math.mit.edu, January 10, 2011. [Consulta: 9 desembre 2019].

[linalg-6] There are many textbooks on vector spaces and linear algebra. For an advanced treatment, see Kostrikin & Manin (1997).

[7] Sally & Vogan 1989.

[:1-8] Teleman, Constantin. «Representation Theory». math.berkeley.edu, 2005. [Consulta: 9 desembre 2019].

[Sternberg-9] Sternberg 1994.

[10] Lam 1998, p. 372.

[Folland-11] Folland 1995.

[12] Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997.

[13] Borel & Casselman 1979, Gelbart 1984.

[14] See the previous footnotes and also Borel (2001).

[SSA-15] Simson, Skowronski & Assem 2007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

@@ Línia 2: / Línia 2: @@
 '''La teoria de la representació''' és una branca de les [[matemàtiques]] que estudia [[Àlgebra abstracta|les]] [[Estructura algebraica|estructures algebraiques]] abstractes ''representant'' els seus [[Element (matemàtiques)|elements]] com a [[Aplicació lineal|transformacions lineals]] d’[[Espai vectorial|espais vectorials]]<ref>{{Ref-web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#representation|títol=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation|data=2019-08-01|obra=Math Vault|llengua=en-US|consulta=2019-12-09}}</ref> i estudia [[Mòdul|mòduls]] sobre aquestes estructures algebraiques abstractes.<ref>Classic texts on representation theory include {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}} and {{Harvtxt|Serre|1977}}. Other excellent sources are {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}} and {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}.</ref> <ref>{{Ref-web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/representation+theory|títol=representation theory in nLab|obra=ncatlab.org|consulta=2019-12-09}}</ref> En essència, una representació fa més concret un objecte algebraic abstracte descrivint els seus elements per [[Matriu (matemàtiques)|matrius]] i les seves operacions algebraiques (per exemple, [[suma de matrius]], [[Multiplicació de matrius|multiplicació de matriu]]). La teoria de les matrius i dels operadors lineals es comprenen millor i, de vegades, simplifiquen els càlculs de teories més abstractes.
-Els [[Àlgebra|objectes algebraics]] susceptibles d'aquesta descripció inclouen [[Grup (matemàtiques)|grups]], [[Àlgebra associativa|àlgebres associatius]] i [[Àlgebra de Lie|àlgebres de Lie]]. La més destacada (i històricament la primera) és la [[Representació de grup|teoria de la representació de grups]], en què els elements d’un grup es representen mitjançant matrius invertibles de manera que l’operació de grup sigui la multiplicació de matrius.<ref>For the history of the representation theory of finite groups, see {{Harvtxt|Lam|1998}}. For algebraic and Lie groups, see {{Harvtxt|Borel|2001}}.</ref> <ref name=":0">{{Ref-web|url=http://www-math.mit.edu/~etingof/replect.pdf|títol=Introduction to representation theory|cognom=Etingof|nom=Pavel|data=January 10, 2011|obra=www-math.mit.edu|consulta=2019-12-09}}</ref>
+Els [[Àlgebra|objectes algebraics]] susceptibles d'aquesta descripció inclouen [[Grup (matemàtiques)|grups]], [[Àlgebra associativa|àlgebres associatius]] i [[Àlgebra de Lie|àlgebres de Lie]]. La més destacada (i històricament la primera) és la [[Representació de grup|teoria de la representació de grups]], en què els elements d’un grup es representen mitjançant matrius invertibles de manera que l’operació de grup sigui la multiplicació de matrius.<ref>{{Harvtxt|Lam|1998}}{{Harvtxt|Borel|2001}}</ref> <ref name=":0">{{Ref-web|url=http://www-math.mit.edu/~etingof/replect.pdf|títol=Introduction to representation theory|cognom=Etingof|nom=Pavel|data=January 10, 2011|obra=www-math.mit.edu|consulta=2019-12-09}}</ref>
 La teoria de la representació és un mètode útil perquè redueix els problemes de [[Àlgebra abstracta|l'àlgebra abstracta]] a problemes en [[Àlgebra lineal|l'àlgebra lineal]], un tema ben entès.<ref name="linalg">There are many textbooks on [[Espai vectorial|vector spaces]] and [[Àlgebra lineal|linear algebra]]. For an advanced treatment, see {{Harvtxt|Kostrikin|Manin|1997}}.</ref> A més, l'espai vectorial sobre el qual es representa un grup (per exemple) pot ser infinit-dimensional i, permetent que sigui, per exemple, un [[espai de Hilbert]], es poden aplicar mètodes d'[[Anàlisi matemàtica|anàlisi]] a la teoria de grups.<ref>{{Harvnb|Sally|Vogan|1989}}.</ref> <ref name=":1">{{Ref-web|url=https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf|títol=Representation Theory|cognom=Teleman|nom=Constantin|data=2005|obra=math.berkeley.edu|consulta=2019-12-09}}</ref> La teoria de la representació també és important en [[física]] perquè, per exemple, descriu com el [[Grup de simetria|grup]] de simetria d’un sistema físic afecta les solucions d’equacions que descriuen aquest sistema. <ref name="Sternberg">{{Harvnb|Sternberg|1994}}.</ref>
@@ Línia 14: / Línia 14: @@
 En segon lloc, hi ha diversos enfocaments de la teoria de la representació. Els mateixos objectes es poden estudiar mitjançant mètodes de [[geometria algebraica]], [[Mòdul|teoria de mòduls]][[Teoria analítica de nombres|, teoria de nombres analítics]], [[geometria diferencial]], teoria d'operadors, combinatòria algebraica i [[topologia]].<ref>See the previous footnotes and also {{Harvtxt|Borel|2001}}.</ref>
-L’èxit de la teoria de la representació ha provocat nombroses generalitzacions. Una de les més generals és la [[teoria de categories]].<ref name="SSA">{{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}.</ref> Els objectes algebraics als quals s'aplica la teoria de la representació es poden veure com a tipus particulars de categories, i les representacions com a [[Functor|functors]] des de la categoria d'objectes fins a la categoria d'espais vectorials.<ref name=":0">{{Ref-web|url=http://www-math.mit.edu/~etingof/replect.pdf|títol=Introduction to representation theory|cognom=Etingof|nom=Pavel|data=January 10, 2011|obra=www-math.mit.edu|consulta=2019-12-09}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFEtingofGolbergHenselLiu2011">Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (January 10, 2011). [http://www-math.mit.edu/~etingof/replect.pdf "Introduction to representation theory"] <span class="cs1-format">(PDF)</span>. ''www-math.mit.edu''<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2019-12-09</span></span>.</cite></ref> Aquesta descripció apunta a dues generalitzacions òbvies: primer, els objectes algebraics es poden substituir per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu dels espais vectorials es pot substituir per altres categories ben enteses.
+L’èxit de la teoria de la representació ha provocat nombroses generalitzacions. Una de les més generals és la [[teoria de categories]].<ref name="SSA">{{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}.</ref> Els objectes algebraics als quals s'aplica la teoria de la representació es poden veure com a tipus particulars de categories, i les representacions com a [[Functor|functors]] des de la categoria d'objectes fins a la categoria d'espais vectorials.<ref name=":0"/> Aquesta descripció apunta a dues generalitzacions òbvies: primer, els objectes algebraics es poden substituir per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu dels espais vectorials es pot substituir per altres categories ben enteses.
 == Referències ==
 {{Referències}}
+== Bibliografia ==
+* {{Citation|title= Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups|first=J. L.|last= Alperin|author-link=J. L. Alperin|publisher=Cambridge University Press|year= 1986|isbn=978-0-521-44926-7}}.
+* {{Citation|first=V.|last=Bargmann|title=Irreducible unitary representations of the Lorenz group|journal= [[Annals of Mathematics]]|volume=48|year=1947|pages=568–640|doi=10.2307/1969129|issue=3|jstor=1969129}}.
+* {{Citation|title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups|first=Armand|last= Borel|author-link=Armand Borel|publisher=American Mathematical Society|year= 2001|isbn=978-0-8218-0288-5}}.
+* {{Citation|title=Automorphic Forms, Representations, and L-functions|first1=Armand |last1=Borel|first2= W.|last2=Casselman|publisher=American Mathematical Society|year= 1979|isbn=978-0-8218-1435-2}}.
+* {{Citation|title=Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras|first1=Charles W.|last1=Curtis|author1-link=Charles W. Curtis|first2=Irving|last2=Reiner|author2-link=Irving Reiner|publisher=John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore)|year=1962|isbn=978-0-470-18975-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/representationth11curt}}.<!---citation template accepts only one isbn---(ISBN 978-0821840665)--->
+* {{Citation|first=Stephen|last=Gelbart|author-link= Stephen Gelbart |title=An Elementary Introduction to the Langlands Program|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=10|issue=2|year=1984|pages=177–219|doi=10.1090/S0273-0979-1984-15237-6|doi-access=free}}.
+* {{Citation|title=A Course in Abstract Harmonic Analysis|first=Gerald B.|last= Folland|publisher=CRC Press|year= 1995|isbn=978-0-8493-8490-5}}.
+* {{Fulton-Harris}}.
+* {{Citation|last2=Wallach|first2=Nolan R.|last1=Goodman|first1=Roe|year=1998|title=Representations and Invariants of the Classical Groups|publisher= Cambridge University Press|isbn= 978-0-521-66348-9}}.
+* {{citation |first1=Gordon|last1=James|author-link2=Martin Liebeck |last2=Liebeck|first2= Martin | title=Representations and Characters of Finite Groups | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=978-0-521-44590-0}}.
+* {{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn= 978-3319134666}}
+* {{Citation|first=Sigurdur|last=Helgason|title=Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces|publisher=Academic Press|year=1978|isbn=978-0-12-338460-7}}
+* {{citation|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|first=James E.|last=Humphreys|publisher=Birkhäuser|year=1972a|isbn=978-0-387-90053-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame}}.
+* {{citation | last1=Humphreys | first1=James E. | title=Linear Algebraic Groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90108-4 |mr=0396773 | year=1972b | volume=21}}
+* {{Citation|title=Representations of Algebraic Groups|first=Jens Carsten|last= Jantzen|publisher=American Mathematical Society|year= 2003|isbn=978-0-8218-3527-2}}.
+* {{Citation|last=Kac|first= Victor G.|author-link=Victor Kac|title= Lie superalgebras|journal= [[Advances in Mathematics]]|volume= 26 |year=1977|issue= 1|pages=8&ndash;96|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2|doi-access=free}}.
+* {{Citation|last=Kac|first= Victor G.|title=Infinite Dimensional Lie Algebras|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press|year= 1990|isbn=978-0-521-46693-6}}.
+* {{Citation|title=Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples|first=Anthony W.|last= Knapp|author-link=Anthony Knapp|publisher= Princeton University Press|year= 2001|isbn=978-0-691-09089-4}}.
+* {{Citation|title=Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals|first=Shoon Kyung|last=Kim|publisher=Cambridge University Press|year= 1999|isbn=978-0-521-64062-6}}.
+* {{Citation|title=Linear Algebra and Geometry|first1=A. I.|last1=Kostrikin|author-link=Alexei Kostrikin|first2=Yuri I.|last2= Manin|author2-link=Yuri Manin|publisher=Taylor & Francis|year= 1997|isbn=978-90-5699-049-7}}.
+* {{Citation|title=Representations of finite groups: a hundred years|first=T. Y.|last=Lam|journal=Notices of the AMS|volume = 45| issue= 3,4|year=1998|pages =[https://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf 361&ndash;372 (Part I)], [https://www.ams.org/notices/199804/lam2.pdf 465&ndash;474 (Part II)]}}.
+* Yurii I. Lyubich. ''Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups''. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
+*{{citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric invariant theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] | isbn=978-3-540-56963-3 |mr=0214602<!--(1st ed. 1965)--> | year=1994 | volume=34}}; {{MathSciNet|id=0719371}} (2nd ed.); {{MathSciNet | id = 1304906}}(3rd ed.)
+* {{citation | last=Olver|first= Peter J. |author-link=Peter J. Olver | title=Classical invariant theory | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1999 | isbn= 978-0-521-55821-1}}.
+* {{Citation|first1=F.|last1=Peter|first2=Hermann|last2=Weyl|title=Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=97|year=1927|issue=1|pages=737–755|doi=10.1007/BF01447892|doi-access=free|s2cid=120013521|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20140819143253/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|archive-date=2014-08-19}}.
+* {{Citation|first=Lev S.|last= Pontrjagin|author-link=Lev Pontryagin|title=The theory of topological commutative groups|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=35|year= 1934|pages= 361–388|doi=10.2307/1968438|issue=2|jstor=1968438}}.
+* {{Citation|title=Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups|first1=Paul|last1= Sally|author1-link=Paul Sally|first2= David A.|last2= Vogan|author2-link=David Vogan|publisher=American Mathematical Society|year=1989|isbn=978-0-8218-1526-7}}.
+* {{citation | author-link=Jean-Pierre Serre | first=Jean-Pierre | last=Serre | title=Linear Representations of Finite Groups | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | isbn=978-0387901909 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr }}.
+* {{Citation| title= Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program|first=Richard W.|last= Sharpe|publisher=Springer|year= 1997|isbn= 978-0-387-94732-7}}.
+* {{citation | title=Elements of the Representation Theory of Associative Algebras|first1=Daniel|last1= Simson|first2= Andrzej|last2=Skowronski|first3= Ibrahim|last3= Assem|publisher= Cambridge University Press|year= 2007|isbn=978-0-521-88218-7}}.
+* {{citation|title=Group Theory and Physics|first=Shlomo|last=Sternberg|author-link=Shlomo Sternberg|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=978-0-521-55885-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/grouptheoryphysi0000ster}}.
+* {{cite book|title=Group Theory in Physics|edition=1st|location=New Jersey·London·Singapore·Hong Kong|year=1985|isbn=978-9971966577|publisher=[[World Scientific Publishing|World Scientific]]|last=Tung|first=Wu-Ki}}
+* {{citation | title= Gruppentheorie und Quantenmechanik|first=Hermann|last= Weyl|author-link=Hermann Weyl|edition=The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931|publisher= S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover)|year=1928|isbn=978-0-486-60269-1}}.
+* {{Citation|title=The Classical Groups: Their Invariants and Representations|first=Hermann|last= Weyl|year=1946|edition=2nd|publisher = Princeton University Press (reprinted 1997)| isbn= 978-0-691-05756-9}}.
+* {{Citation|first= Eugene P.|last=Wigner|author-link=Eugene Wigner|title=On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group|journal=[[Annals of Mathematics]]| volume=40|pages=149–204|year=1939|doi=10.2307/1968551|issue=1|jstor= 1968551}}.