Constant de la gravitació

La constant de la gravitació, també anomenada constant gravitacional, constant de la gravitació universal o constant de Newton, denotada G, és una constant física fonamental. És la constant de proporcionalitat que apareix en la llei de la gravitació universal d'Isaac Newton i en la teoria de la relativitat general d'Einstein; no s'ha de confondre amb g, que és l'acceleració causada per la gravetat, i que a la superfície de la Terra a nivell del mar té un valor de 9.80665 m/s².

A la llei de Newton, és la constant de proporcionalitat que connecta la força gravitatòria entre dos cossos amb el producte de les seves masses i la quadrat invers de la seva distància. A les equacions de camp d'Einstein, quantifica la relació entre la geometria de l'espai-temps i el tensor d'energia i impuls (també conegut com a Tensor d'energia-moment).

El valor mesurat de la constant es coneix amb certa certesa a quatre dígits significatius. En unitats del Sistema Internacional, el seu valor és aproximadament 6.674×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻²

La notació moderna de la llei de Newton que implica G va ser introduïda a la dècada de 1890 per C. V. Boys. La primera mesura implícita amb una precisió d'aproximadament l'1% s'atribueix a Henry Cavendish en un experiment de 1798.

Definició

Segons la llei de Newton, la força d'atracció entre dues masses m₁ i m₂ és:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}$,

en què G és la constant de la gravitació i d és la distància entre llurs centres de massa.

En les equacions d'Einstein de la gravitació, l'atracció gravitacional es dona no sols entre masses, sinó que totes les formes d'energia s'atrauen: això és conseqüència del principi de relativitat, en el qual es postula que massa i energia són de la mateixa naturalesa; les dues són font del camp gravitacional (atrauen) i objecte d'aquest (són atretes).

En termes d'unitats del sistema internacional d'unitats, el valor de la constant de la gravitació és:

$G=\left(6,67430\pm 0,00015\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}{\cdot }{\mbox{kg}}^{-1}{\cdot }{\mbox{s}}^{-2}$

Això és equivalent a dir que dues masses d'1 quilogram cada una, separades una distància d'1 metre, s'atrauen l'una a l'altra amb una força gravitacional aproximada de 6,67 × 10^–11 newtons.

La incertesa de 46 parts per milió d'aquest valor posa la constant gravitacional entre les constants físiques mesurades amb menys precisió, encara que les mesures més recents han millorat la precisió del valor de G acceptat. La mesura de la massa del Sol també té la mateixa incertesa, ja que s'usa el valor de G per calcular-la, així com la massa dels planetes; per fer càlculs de mecànica celeste, s'utilitzà la constant gaussiana gravitacional durant el segle xix:

$k=0,01720209895\ {\mbox{A}}^{3}{\cdot }{\mbox{D}}^{-2}{\cdot }{\mbox{S}}^{-1}$

Història

Esquema d'una balança de torsió. Les esferes petites estan situades damunt un braç penjat d'un filferro. Les esferes grosses estan immòbils i produeixen una atracció sobre les petites fent girar el braç. El filferro s'oposa a aquest gir oposant-s'hi amb una força que es pot mesurar.

La constant G fou implícitament mesurada per primera vegada per Henry Cavendish (Philosophical transactions, del 1798): va usar un balancí horitzontal de torsió amb esferes de plom amb les quals mesurava la inèrcia (amb relació a la constant de torsió), tot cronometrant l'oscil·lació de les esferes. La seva feble atracció cap a altres esferes col·locades al costat del balancí es podia determinar per la desviació que causaven (vegeu experiment de la torsió de barres). Tanmateix, Cavendish treballava amb proporcions, i en els seus articles no fa esment de la constant de la gravitació: l'objectiu de Cavendish era determinar amb precisió la massa de la Terra amb el coneixement de la intensitat de l'atracció gravitatòria. Dels seus experiments, hom pot extreure a posteriori, però, el valor de la constant de la gravitació.

Després de l'experiment realitzat per Cavendish altres científics repetiren l'experiment amb el mateix muntatge introduint millores. A partir de mitjan segle xix els experiments es realitzaven ja amb l'objectiu de determinar la constant de la gravitació, ${\textstyle G}$, i no la densitat de la Terra. En destaquen:

• L'alemany Ferdinand Reich repetí la mesura de la densitat de la Terra amb una balança molt similar a l'emprada per Cavendish i obtingué nous valors de la densitat mitjana de la Terra, ρ = 5,49 g/cm³ el 1837 i ρ = 5,58 g/cm³ el 1852.
• Francis Baily repetí l'experiment de la balança de torsió i obtingué el 1842 un valor de ρ = 5,67 g/cm³.
• Els francesos Marie Alfred Cornu i Jean-Baptistin Baille trobaren el 1873 valors de ρ que oscil·len entre 5,50 i 5,56 g/cm³.
• El 1895, Charles Vernon Boys modificà l'instrument original de Michell i Cavendish miniaturitzant-lo a 1/18 parts, substituint el fil de torsió, originalment de ferro, per fines fibres de quars, de 0,002 mm de diàmetre. Aquesta innovació li permeté utilitzar masses d'or menors (m = 2,7 g; M = 7,5 kg) i una distància de separació també menor, 15 cm, alhora que controlà millor les variacions de temperatura i les variacions del pendent del sòl. També separà verticalment 6 polzades la posició de les parelles d'esferes amb l'objectiu de reduir l'efecte de l'esfera grossa de l'altre parell i disposà un mirall al braç que reflectia un raig de llum el qual permetia determinar mitjançant un telescopi el petit angle de desviació. Els seus mesuraments donaren el valor ρ = 5,527 g/cm³.
• El 1897, el físic alemany Karl Ferdinand Braun millorà la balança de torsió tancant-la dins un recipient on n'extragué l'aire, així evità els corrents d'aire que afecten l'oscil·lació. També emprà un nou mètode. Situà les masses grosses en línia amb les masses petites del braç, per després canviar la seva disposició 90°, mètode anomenat del període d'oscil·lació. En les posicions amb les quatre esferes alineades l'atracció gravitatòria es redueix el període d'oscil·lació i s'amplia amb les masses en les posicions creuades, més allunyades. Obtingué el valor ρ = 5,527 g/cm³, igual que Boys.
• El mètode de Braun també fou emprat el 1930 per Paul Renno Heyl amb diferents materials (or, platí i vidre) i obtingué un valor mitjà per a la densitat de la Terra de ρ = 5,517 g/cm³. Repetí l'experiència el 1942 amb Peter Chrzanowski i obtingueren un valor ρ = 5,514 g/cm³, realitzant l'experiència amb diferents filferros. Finalment Gabriel G. Luther i William R. Towler el 1982 empraren esferes de wolframi de 10,5 kg i obtingueren un valor molt precís.

Combinant la constant gravitacional amb la constant de Planck i la velocitat de la llum en el buit és possible crear un sistema d'unitats conegut com a unitats de Planck: en aquest sistema, la constant gravitacional, la constant de Planck i la velocitat de la llum prenen un valor numèric igual a 1.

Teoria de la gravitació de Newton

La constant de la gravitació que s'exposa en la teoria newtoniana de la gravitació pot calcular-se mesurant la força d'atracció entre dos objectes, d'un quilogram (kg) cadascun, separats a un metre de distància. Newton va formular la següent llei, coneguda com a llei de gravitació universal:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ ,$

que pot ser expressada vectorialment de la forma:

${\vec {F}}=-G\;{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\cdot {\vec {u}}_{r}=-G\;{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\cdot {\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}\ ,$

on és la constant de gravitació universal el valor de la qual és:

$G=6.67430(15)\cdot 10^{-11}~\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$

Només se sap amb certesa que són correctes les primeres xifres decimals: es tracta d'una de les constants físiques que han estat determinades amb menor precisió. Això ocasiona dificultats a l'hora de mesurar amb precisió la massa dels diferents cossos del Sistema Solar, com el Sol o la Terra. I altres constants derivades com la constant d'Einstein.

El primer mesurament del seu valor ha estat atribuïda en moltes ocasions a Henry Cavendish, en l'experiment de la balança de torsió descrit en les Philosophical Transactions de 1798 publicades per la Royal Society. No obstant això Cavendish no pretenia obtenir el valor de G, sinó mesurar la densitat de la Terra —que va resultar «ser 5.48 vegades la de l'aigua»—, sense fer cap referència a la constant G o a Newton, encara que sí que va aplicar la llei proposada per ell per a comparar forces gravitatòries entre masses diferents.

G, la constant de gravitació universal, no ha de ser confosa amb g, lletra que representa la intensitat del camp gravitatori de la Terra, que és el que habitualment rep el nom de «gravetat» i el valor de la qual sobre la superfície terrestre és d'aproximadament 9.8 m/s².

Teoria de la gravitació d'Einstein

La teoria de la relativitat apareix un altre constant anomenada constant de la gravitació d'Einstein, que ve donada per:

${\ce {G_E = {\frac {8\pi G}{c^4}}}}$

Aquesta constant és el factor de proporcionalitat entre el tensor de curvatura d'Einstein (que és una mesura de la intensitat del camp gravitatori) i el tensor d'energia-moment de la matèria que provoca el camp:

$G_{ik}=R_{ik}-\left({\frac {g_{ik}R}{2}}\right)+\Lambda g_{ik}=G_{E}\;T_{ik}$

L'equivalent clàssic d'aquest últim equació és l'equació de Poisson per al potencial gravitatòria:

$\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho$

Vegeu també

• Experiment de Cavendish