Diagonal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Aquest article tracta sobre el segment que uneix dos vèrtexs no consecutius d'un polígon o políedre. Vegeu altres significats a «Diagonal (desambiguació)».
Diagonals d'un cub de costats de longitud unitària. AC' (pintat en blau) és una diagonal espacial de longitud \sqrt 3, mentre que AC (pintat en vermell) és una diagonal de cara de longitud \sqrt 2.

Una diagonal és una línia que uneix dos vèrtexs no consecutius d'un polígon o d'un políedre. En sentit col·loquial, una diagonal és una recta o segment amb certa inclinació. En matemàtiques, a part del seu significat geomètric, el terme diagonal també s'usa en matrius per referir-se a un conjunt d'elements al llarg d'una línia diagonal.

Etimologia[modifica | modifica el codi]

La paraula diagonal prové del grec antic διαγώνιος, diagonios ("d'angle a angle").[1] Fou utilitzada tant per Estrabó[2] com per Euclides[3] per referir-se al segment que connecta dos vèrtexs d'un rombe o cuboide,.[4] Està formada pels elements διά-, dia- ("a través") i γωνία, gonia ("angle", relacionada amb gony, "genoll"), i després fou adoptada en llatí com diagonus ("línia inclinada").

Nombre de diagonals d'un polígon[modifica | modifica el codi]

Per un polígon convex o còncau de n costats, el nombre de diagonals ve donades per l'equació:

 N_d =\frac{n(n-3)}{2}

Aquest resultat s'obté raonant de la següent manera: a partir de cadascun dels n vèrtexs poden traçar-se n - 3 diagonals, ja que no hi ha diagonals cap al mateix vèrtex ni cap als 2 vèrtexs adjacents. Com que la diagonal que va d'un vèrtex A a un altre B i la que ve d'aquest vèrtex B de tornada al vèrtex A són la mateixa diagonal, es divideix per dos per evitar comptar aquesta diagonal dues vegades.

Costats Diagonals
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
8 20
9 27
10 35
Costats Diagonals
11 44
12 54
13 65
14 77
15 90
16 104
17 119
18 135
Costats Diagonals
19 152
20 170
21 189
22 209
23 230
24 252
25 275
26 299
Costats Diagonals
27 324
28 350
29 377
30 406
31 434
32 464
33 495
34 527
Costats Diagonals
35 560
36 594
37 629
38 665
39 702
40 740
41 779
42 819

Matrius[modifica | modifica el codi]

Article principal: Matriu (matemàtiques)

En el cas d'una matriu quadrada, la diagonal principal és la línia diagonal d'elements que va de la cantonada superior esquerra fins a la cantonada inferior dreta. Per una matriu  A amb l'índex de fila especificat per i i l'índex de columna especificat per j, la diagonal principal està formada pels elements A_{ij} que compleixin i = j. Per exemple, la matriu identitat es defineix com aquella que té tot d'uns a la diagonal principal i zeros a la resta de la matriu:

\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

La diagonal que va de la cantonada superior dreta a la cantonada inferior esquerra s'anomena diagonal menor o antidiagonal. Una matriu diagonal és aquella que té tots els elements que no es troben sobre la diagonal principal iguals a zero.

Geometria[modifica | modifica el codi]

Per analogia, el subconjunt del producte cartesià X×X de qualsevol conjunt Xamb ell mateix, consistint de tots els parells (x,x), s'anomena diagonal i és el graf de la relació identitat. Juga un paper important en geometria: per exemple, el punt fix d'una relació F des de X a ella mateixa es pot obtenir intersecant el graf de F amb la diagonal.

En estudis de geometria, és comuna la idea d'intersecar la diagonal amb ella mateixa, no directament sinó pertorbant-la amb una classe equivalent. Això està relacionat a un nivell més profund amb la característica d'Euler i els zeros de camps vectorials. Per exemple, el cercle té nombres de Betti 1, 1, 0, 0, 0 i, per tant, la seva característica d'Euler és 0. Una manera geomètrica d'expressar això és mirar a la diagonal del tor doble S1xS1 i observar que es pot moure cap a fora d'ell mateix amb el petit moviment (θ, θ) a (θ, θ + ε). En general, el nombre d'intersecat del graf d'una funció amb la diagonal es pot calcular usant l'homologia amb el teorema del punt fix de Lefschetz; l'autointersecat de la diagonal és el cas especial de la funció identitat.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Online Etymology Dictionary
  2. Estrabó, Geografia, 2.1.36-37
  3. Euclides, Elements, llibre 11, proposició 28
  4. Euclides, Elements, llibre 11, proposició 38

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]