Transformada

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una transformació o transformada podria ser qualsevol funció que fa correspondre un conjunt X en un altre conjunt o en a si mateix.[1] Tanmateix, sovint el conjunt X té alguna estructura algebraica o geomètrica addicional i el terme "transformació" fa referència a una funció X a si mateixa que conserva aquesta estructura.

Els exemples inclouen transformacions lineals i transformacions afins, rotacions, reflexions i tranlsacions. Aquests es poden fer en l'espai euclidià, especialment en dimensions 2 i 3. Són també operacions que es poden executar utilitzant àlgebra lineal, i sent descrites explícitament usant matrius.

Translació[modifica | modifica el codi]

Article principal: Translació (matemàtiques)

Una translació, o operador de translació, és una transformació afí d'espai euclidià que mou tots els punts per una distància fixa en la mateixa direcció. També es pot interpretar com l'addició d'un vector constant a tots els punts, o com canviar l'origen del sistema de coordenades. En altres paraules, si v és un vector fix, llavors la translació T v treballarà com T pàg. de v() = pàg. + v.

Consideri un punt P (x, y) al pla corresponent. Ara els eixos es canvien dels eixos originals a una distància (h, k) i això són els eixos de referència corresponents. Ara l'origen (eixos previs) és (x, y) i el punt P és (X, Y) i per això les equacions són:

X = xh o x = X + h o h = xX

i

Y = yk o y = Y + k o k = yY.

Reemplaçant aquests valors o utilitzant aquestes equacions en l'equació respectiva s'obté l'equació transformada o eixos de referència nous, eixos de referència vells, punt que és al pla.

Reflexió[modifica | modifica el codi]

Article principal: Reflexió (matemàtiques)

Una reflexió és un mapa que transforma un objecte en la seva imatge especular respecte a un "mirall", que és un hiperplà de punts fixos en la geometria. Per exemple, un reflexió de la lletra p en el respecte a una línia vertical semblaria una q. Per reflectir una xifra planar es necessita que el "mirall" sigui una línia (eix de reflexió o eix de simetria), mentre per a reflexions en l'espai tridimensional s'utilitzaria un pla (el pla de reflexió o simetria) per a un mirall. La reflexió es pot considerar com el cas restrictiu d'inversió mentre el radi del cercle de referència augmenta sense fita.

La reflexió es considera que és un oposat, ja que canvia l'orientació de les xifres que reflecteix.

Reflexió de lliscament[modifica | modifica el codi]

Exemple d'una reflexió de lliscament

Una reflexió de lliscament és un tipus d'isometria del pla euclidià: la combinació d'un reflex en una línia i una translació al llarg d'aquella línia. Fent marxa enrere l'ordre de combinar-se dóna el mateix resultat. Depenent de context, podem considerar una reflexió simple (sense translació) com un cas especial on el vector de translació és el vector zero.

Rotació[modifica | modifica el codi]

Article principal: Rotació (matemàtiques)

Una rotació és una transformació que es realitza "fent" girar l'objecte al voltant d'un punt fix conegut com el centre de rotació. Pot alternar el seu objecte en qualsevol mesura de grau, però 90° i 180° són dues de les més comunes. Les rotacions també, es fan en el sentit contrari de les agulles del rellotge.

Escalat[modifica | modifica el codi]

L'escalat uniforme és una transformació lineal que amplia o disminueix objectes; el factor de reducció és el mateix en totes les direccions; també s'anomena un homotècia o dilació. El resultat de escalat uniforme és similar (en el sentit geomètric) a l'original.

Més general és escalat amb un factor de reducció separat per a cada direcció d'eix; un cas especial és l'escalat direccional (en una direcció). Les formes no alineades amb els eixos poden ser subjecte a cisalla (vegi-hi més avall) com a efecte secundari: encara que els angles entre paral·lela de línies als eixos es conserven, no són uns altres angles.

Cisalla[modifica | modifica el codi]

Cisalla és una transformació que eficaçment alterna un eix de manera que els eixos no siguin ja perpendiculars. Sota la cisalla, un rectangle es converteix en un paral·lelogram, i un cercle es converteix en una el·lipse. Fins i tot si les línies paral·leles als eixos es queden la mateixa llargada, altres no ho fan. Com a mapatge del pla, és en la classe de mapatges equi-areals.

Generalització[modifica | modifica el codi]

Article principal: Aplicació lineal

Més generalment, un transformació en mitjà de matemàtiques una funció matemàtica. Una transformació pot ser una funció invertible des d'un conjunt X a si mateix, o de X a un altre conjunt Y. L'elecció del terme «transformació» pot simplement decaure que els aspectes més geomètrics d'una funció s'estan considerant (per exemple, atenció parada als invariants).

A la transformació no lineal forta aplicat a un pla a través de l'origen
Abans Després de
Abans de Després de

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Transformada
  1. Wilkinson, Leland. The Grammar of Graphics. Springer, 2007, p. 29. ISBN 978-0-387-24544-7.