Experiment de Davisson-Germer

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Intensitat dels electrons difractats en l'experiment de Davisson-Germer respecte de l'angle de difracció per a diferències de potencial de 40 V a 68 V dels electrons incidents i per a l'azimut-{111}

L'experiment de Davisson-Germer és un important experiment realitzat el 1927 pels físics nord-americans Clinton Joseph Davisson (1881-1958) i Lester Halbert Germer (1896-1971) amb el qual demostraren que les partícules de matèria, sota determinades condicions, presenten característiques d'ones confirmant la hipòtesi de De Broglie de la dualitat ona-partícula del 1924.[1][2] L’experiment consistí a bombardejar un cristall de níquel amb un feix d’electrons; a la placa receptora hom observà, com en el cas dels raigs X, que els electrons eren difractats per la xarxa cristal·lina.[3][4]

Antecedents[modifica | modifica el codi]

Des del 1921 C. J. Davisson publicà diferents articles sobre la dispersió d'electrons per part de cristalls de diferents metalls (níquel, alumini, platí i magnesi), juntament amb Charles Henry Kunsman.[5][6][7][8] El 1925 el jove estudiant de doctorat Walter Maurice Elsässer, de la Universitat de Göttingen, comentà que la naturalesa ondulatòria de la matèria podria ser investigada mitjançant experiments de dispersió d'electrons en sòlids cristal·lins, igual que la naturalesa d'ona dels raigs X s'havia confirmat a través d'experiments de dispersió de raigs X en els sòlids cristal·lins com els realitzats per Davisson i Kunsman.[9][10][11] Elsässer es basà en la tesi doctoral del físic francès Louis-Victor de Broglie, en la qual el 1924 formulà la hipòtesi revolucionària de que tota la matèria (electrons, àtoms, molècules,...) presenta característiques tant corpusculars com ondulatòries, i determinà la longitud d'ona associada a una partícula:

\lambda = \frac{h}{m \cdot v}

on λ és la longitud de l'ona associada a la partícula de massa m que es mou a una velocitat v, i h és la constant de Planck. El producte  mv\ \; és també el mòdul del vector \vec p , o quantitat de moviment de la partícula.[2]

Clinton Joseph Davisson (esquerra) i Lester Halbert Germer (dreta) el 1927, amb l'aparell emprat en les seves investigacions

El 1925 Clinton J. Davisson i Lester H. Germer treballaven als Laboratoris Bell de Nova York de la companyia de telecomunicacions nord-americana American Telephone and Telegraph (AT&T) investigant la reflexió d'electrons per part dels metalls. Per una casualitat tingueren un accident amb una làmpada que contenia un tros de níquel policristal·lí dins del buit quan caigué damunt la làmpada un flascó amb aire líquid i rompé la làmpada, quedant el níquel, que estava calent, exposat a l'oxigen de l'aire líquid que l'oxidà. Per reduir l'òxid de níquel format, i transformar-lo un altre cop en níquel, l'escalfaren suaument en un corrent d'hidrogen. Això provocà la transformació del cristall policristal·lí en monocristal·lí en diferents zones i, quan repetiren l'experiment observaren que no es donaven els mateixos resultats que abans. Aquest descobriment dugué a canviar la investigació emprant mostres de níquel monocristal·lí.[10]

El suggeriment d'Elsässer fou comunicada per Max Born als físics reunits a Oxford en un congrés de la British Association for the Advancement of Science l'estiu del 1926, al qual hi assistí Clinton J. Davisson.[10][11] Gràcies a aquest congrés, Davisson descobrí la importància i el significat del seu descobriment i els comentà amb Owen W. Richardson, Max Born i James Franck. Amb aquesta nova informació partí cap a Nova York amb l'objectiu de demostrar la naturalesa corpuscular dels electrons.[12]

L'experiment[modifica | modifica el codi]

Esquema de l'aparell utilitzat per Davisson i Germer el 1927

L'aparell[modifica | modifica el codi]

L'aparell emprat per Davisson i Germer constava d'un canó d'electrons que es generaven per efecte termoiònic en una cinta de tungstè escalfada per efecte Joule. Una vegada emesos els electrons passaven a una petita cambra on eren accelerats mitjançant una diferència de potencial de desenes de volts (entre 15 i 350 V). El feix així accelerat, d'1 mm de diàmetre, es dirigia cap a un monocristall de níquel situat a 7 mm de la sortida dels electrons, els quals hi impactaven verticalment. L'objectiu era un monocristall de níquel de 8x5x3 mm, que podia ser rotat sobre l'eix d'incidència del feix d'electrons. El níquel té una estructura cristal·lina del tipus cúbica centrada en la cara. La cara que rebia el feix d'electrons era paral·lela al pla cristal·logràfic definit per l'índex de Miller {111}.

Els electrons eren difractats pel níquel i sortien amb un cert angle que podia ser determinat mitjançant un detector, constituït per una doble gàbia de Faraday i un galvanòmetre que podia rotar entre 20º i 90º respecte de la direcció del feix incident, al temps que mesurava la intensitat del feix d'electrons. Ambdós feixos es movien dins una cambra on s'havia fet el buit a una pressió entre 2·10-6 mm Hg i 3·10-6 mm Hg.[4]

Observacions[modifica | modifica el codi]

Intensitat dels electrons difractats per a un voltatge de 54 V i llançant contra l'azimut {111} respecte de l'angle de difracció (coordenades polars).

Davisson i Germer observaren que quan feien incidir els electrons accelerats sobre la superfície de níquel es produïen màxims d'intensitat que no es podien explicar considerant l'electró una partícula que xoca contra una superfície plena d'àtoms de níquel esfèrics, els quals haurien de dispersar els electrons en totes direccions. El màxim més intens s'assolia accelerant els electrons sota una diferència de potencial de \triangle V=54 V contra el cristall de níquel orientat amb capes d'àtoms perpendiculars a la direcció d'incidència. En aquest cas concret es produïa una difracció per reflexió dels electrons amb un màxim d'intensitat a \alpha = 50^\circ  de la direcció d'incidència.[13]

Esquema de la difracció d'electrons en la superfície d'un cristall de Ni

Tanmateix el fenomen observat era semblant a la difracció de raigs X sobre una superfície cristal·lina descoberta el 1912 pel físic alemany Max Von Laue amb els seus col·laboradors Paul Knipping i Walter Friedrich, que li permeté determinar la naturalesa ondulatòria dels raigs X, considerats fins en aquell moment com a feixos de partícules d'alta energia. La difracció dels raigs X fou estudiada el 1913 per William Lawrence Bragg i William Henry Bragg, els quals pogueren relacionar els màxims d'intensitat amb les distàncies entre les capes d'àtoms d'un cristall.

La difracció de raigs X es produeix perquè aquesta radiació electromagnètica té longituds d'ona molt curta, entre 10 nm i 100 pm, comparables a les distàncies interatòmiques als cristalls (en el níquel aquesta és D = 215 \; pm ). En aquest cas es produeix una dispersió d'una manera especular, per reflexió, per part dels àtoms del cristall, i els diferents raigs difractats interfereixen amb interferències constructives i destructives. Les primeres reforcen la intensitat del feix, i les segones l'anul·len.[13]

A l'experiment de Davisson i Germer es recullen les dades de la interferència constructiva. La condició d'interferència constructiva per a àtoms adjacents, la que produeix un màxim d'intensitat, és aquella que compleix que la diferència de camins, això és D \cdot \sin \, \alpha, de dos raigs difractats és igual a la longitud d'ona, \lambda, quan es difracten raigs X. Aplicant la mateixa condició hom pot calcular la longitud d'ona dels electrons difractats:[13]

\lambda = D \cdot \sin \alpha = 215 \, pm \cdot \sin 50^\circ = 215 \, pm \, \cdot 0,766 = 165 \, pm

Longitud d'ona dels electrons segons De Broglie[modifica | modifica el codi]

Louis-Victor-Pierre-Raymond de Broglie (1892–1987)

La fórmula que donà De Broglie per a la longitud d'ona d'una partícula de massa m que es mou a una velocitat v és:[2]

\lambda=\frac{h}{mv}

on h és la constant de Planck que val 6,626 \cdot 10^{-34} J \cdot s.

La velocitat v d'un electró de càrrega e i massa m, accelerat per una diferència de potencial \triangle V es pot deduir a petites velocitats, això és, sense considerar efectes relativistes, a partir d'igualar el treball elèctric W_{AB} = - e \cdot \triangle V i la variació d'energia cinètica entre l'inici i el final, \triangle K_{AB} = K_B - K_A. Com que els electrons s'acceleren des del repòs és v_A = 0 i tenim:

K_B - K_A = \tfrac{1}{2} m v_B^2 - \tfrac{1}{2} m v_A^2 = \tfrac{1}{2} m v_B^2

Igualant aquesta expressió al treball elèctric queda:

\tfrac{1}{2} m v_B^2 = -e \cdot \triangle V

Com que la càrrega de l'electró és negativa podem escriure finalment que:

v_B = \sqrt{\frac{2e\triangle V}{m}}

La longitud d'ona de De Broglie serà:

\lambda=\frac{h}{\sqrt{2me\triangle V}}

Si se substitueix pels valors h=6,626 \cdot 10^{-34} J \cdot s; m=9,1 \cdot 10^{-31} kg; e=1,602 \cdot 10^{-19} C; i \triangle V=54 V;

queda:

\lambda = 1,67 \cdot 10^{-10} \; m = 167 \; pm

Aquest valor coincideix, dintre dels marges experimentals, amb el valor obtingut per Davisson i Germer, la qual cosa confirma la hipòtesi de De Broglie. Com també ho confirmen les dades obtingudes amb experiments amb d'altres voltatges i amb feixos d'electrons que incidien sobre superfícies diferents del cristall.

Difracció per plans cristal·logràfics interns[modifica | modifica el codi]

La difracció dels electrons, de la mateixa manera que els raigs X, es produeix en certes direccions preferents que impliquen la participació de vàries capes de plans paral·lels d'àtoms de níquel dintre del cristall, ja que per la seva petita longitud d'ona els raigs X tenen la capacitat de penetrar-hi. Es compleix la fórmula de Bragg:

2 \cdot d \cdot \sin \theta = n \cdot \lambda
Esquema de la difracció d'electrons a l'experiment de Davisson-Germer. El feix incident impacte perpendicularment a la superfície del Ni i arriba a un pla cristal·logràfic amb un angle \alpha /2 respecte de la normal (línia discontínua) i \theta respecte del pla. El feix reflectit també ho fa amb un angle igual \alpha /2 respecte de la normal i \theta respecte del pla. L'angle mesurat és \alpha.

amb:

  • d = distància entre dos plans cristal·logràfics;
  • \theta = angle de difracció, angle entre el feix incident i la direcció cristal·logràfica o el pla del cristall que produeix la difracció;
  • n = ordre de difracció (1, 2, 3,...);
  • \lambda = longitud d'onda dels electrons.

En l'experiència de Davisson i Germer sobre un monocristall de níquel el feix d'electrons penetren dintre del cristall i es reflecteixen en diferents plans paral·lels separats una distància d = 91\, pm i amb un angle de difracció \theta = 65^\circ. Aplicant la fórmula de Bragg al màxim de primer ordre n = 1 resulta:

 \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin \theta =  2 \cdot 0,91 \, pm \cdot \sin 65^\circ = 165 \, pm [14]

Hom pot relacionar la distància interatòmica a la superfície del cristall, D, amb la separació entre plans cristal·logràfics, d, i l'angle  \alpha entre el feix de raigs incidents i el feix de raigs difractats. La meitat d'aquest angle és igual a l'angle que forma la superfície del cristall i la direcció dels plans cristal·logràfics, ja que la reflexió del feix d'electrons compleix la llei de la reflexió (raig incident i raig reflectit formen el mateix angle amb la normal a la superfície de reflexió). Així, doncs, l'angle entre el feix incident i la normal és \alpha /2, i aquestes dues direccions són perpendiculars a la superfície del cristall i al pla cristal·logràfic respectivament, per tant aquestes formen el mateix angle \alpha/2. La relació resulta ser:

d = D \cdot \sin \tfrac{\alpha}{2}

L'angle entre el feix incident i el pla cristal·logràfic, \theta, és igual a \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\alpha}{2} . I la fórmula de Bragg es pot posar en funció d'aquest nou angle \alpha/2 i simplificar emprant la identitat trigonomètrica \sin \left (\tfrac{\pi}{2} - \beta \right ) = \cos \beta:

2 \cdot d \cdot \sin \, \theta =  2 \cdot d \cdot \sin \left ( \tfrac{ \pi}{2} - \tfrac{\alpha}{2} \right ) = 2 \cdot d \cdot \cos  \tfrac{\alpha}{2} = n \cdot \lambda

Si se substitueix d:

2 \cdot D \cdot \sin \tfrac{\alpha}{2} \cdot \cos \tfrac{\alpha}{2}  = n \cdot \lambda

o, emprant la identitat trigonomètrica de l'angle doble 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2\beta :

D \cdot \sin \alpha = n \cdot \lambda

que és l'equació emprada per a demostració en el cas de reflexió a la superfície.[13]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. De Broglie, L.V. «Waves and quanta». Nature, 112, 1923, pàg. 540..
  2. 2,0 2,1 2,2 De Broglie, L.V. «Recherches sur la théorie des quanta». Annales de Physique, 3, Gener-febrer 1925, pàg. 22-128.
  3. Davisson, C.J.; Germer, L.H. «The Scattering of Electrons by a Single Crystal of Nickel». Nature, 119, 1927, pàg. 558-560.
  4. 4,0 4,1 Davisson, C.J.; Germer, L.H. «The Scattering of Electrons by a Single Crystal of Nickel». Phys. Rev., 30, 6, Desembre, 1927, pàg. 705-742.
  5. Davisson, C.; Kunsman, C.H. «The scattering of electrons by nickel». Science, 54, 1921, pàg. 522-524.
  6. Davisson, C.; Kunsman, C.H. «The scattering of electrons by nickel». Phys. Rev., 19, 1922, pàg. 253-255.
  7. Davisson, C.; Kunsman, C.H. «The scattering of electrons by aluminum». Phys. Rev., 19, 1921, pàg. 534-535.
  8. Davisson, C.; Kunsman, C.H. «The scattering of low speed electrons by platinum and magnesium». Phys. Rev., 22, 3, 1923, pàg. 242-258.
  9. Elsässer, W.M. «Bemerkungen zur Quantenmechanik freier Elektronen». Naturwissenschaften, 13, 33, 1925, pàg. 711. DOI: 10.1007/BF01558853.
  10. 10,0 10,1 10,2 Serway, R.; Moses, C.; Moyer, C. Modern Physics. 3a ed.. Cengage Learning, 2004, p. 154-158. ISBN 9780534493394. 
  11. 11,0 11,1 Mehra,, J.; Rechenberg, H. The Historical Development of Quantum Theory. Springer Science & Business Media, 2001, p. 622-628. ISBN 9780387951751. 
  12. Davisson, C.J. «Nobel Lecture: The Discovery of Electron Waves». Nobelprize.org, 1937 [Consulta: 16 Des 2014].
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 French, A.P.; Taylor, E.F.. «The wave properties of particles». A: An Introduction to Quantum Physics. CRC Press, 1979. ISBN 9780748740789. 
  14. Zettili, N. Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons, 2009. ISBN 9780470026786. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]