Menelau d'Alexandria

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Menelau d'Alexandria
Naixement vers 70 dC
possiblement Alexandria
Mort vers 130 dC
Lloc desconegut
Es coneix per Teorema de Menelau
Camp científic Matemàtiques i Astronomia
Va influir a Claudi Ptolomeu

Menelau d'Alexandria (en (llatí): Menelaus, en (grec antic): Μενέλαος) fou un matemàtic grec del segle I dC. En Menelau trobem a un dels últims grans matemàtics grecs i, de forma més específica, a un representant clau del punt àlgid de la trigonometria aplicada grega. L'interès del matemàtic per la trigonometria segurament provenia, com era freqüent en l'època, de l'astronomia. Com homenatge per la seva contribució al coneixement, a la Lluna es troba un cràter que porta el seu nom.

Vida[modifica | modifica el codi]

Com és habitual entre personatges àntics, és complicat disposar d'una font precisa i contrastada de la seva vida. Malgrat aquest fet es tenen diverses referències d'altres autors contemporanis i posteriors que citen al matemàtic.

Probablement nasqués i passés la seva joventut a Alexandria ja que es citat tant per Pappos en la seva Col·lecció matemàtica com per Procle en un comentari d'un llibre dels Elements com "Menelau d'Alexandria".[1]

Més tard, es va traslladar a Roma on va fer dues observacions en temps de Trajà (any 98 dC) que queden recollides en l'obra de Ptolomeu Almagest. La primera d'aquestes observacions va ser l'ocultació de l'estrella Spica per la lluna a la desena hora de la nit (això correspon a les quatre de la matinada en l'horari estacional o a les cinc en l'estàndard) del dia 15-16 del mes egipci Mechir (té lloc entre el 8 de febrer i el 9 de març del calendari gregorià) i la seva aparició una hora després. La segona observació va tenir lloc en el 18-19 del mes Mechir i es tractava d'una alineació d'una franja de la lluna amb certes estrelles de la constel·lació del Escorpí.[2] Gràcies a aquests esdeveniments i comparant-los amb els fets per Timocari uns 400 anys abans, Ptolomeu (i possiblement Menelau abans) va poder confirmar la descripció feta per Hiparc de la precessió dels equinoccis.

Les dates citades per Ptolomeu el situarien com un contemporani de Plutarc i, de fet, el mateix Plutarc deixa constància de la seva participació en el diàleg De facie in orbe lunas (càp 17) on Lucius demana perdó a Menelau el matemàtic per qüestionar la proposició fonamental en òptica que diu que els angles d'incidència i reflexió respecte a la normal de la superfície són iguals. Una traducció aproximada d'aquest fragment seria la següent:

"En la teva presència, el meu estimat Menelau, estic avergonyit de refutar una proposició, la fonamentació, per així dir-ho, en la qual descansa la catòptrica. Si, s'ha de dir que la proposició, Tota reflexió succeeix en angles iguals, no és ni evident ni un fet admès."[3]

Obra[modifica | modifica el codi]

Sphaericorum libri tres. Versió d'Edmond Halley (1758)

L'Sphaerica (La Esfera)[modifica | modifica el codi]

En Menelau trobem a un dels primers representants del que coneixem avui dia com trigonometria esfèrica i és en aquesta àrea de les matemàtiques en la qual més importància ha tingut el treball del matemàtic alexandrí. Aquest fet prové tant del nivell matemàtic al qual els grecs havien arribat com que l'Sphaerica (L'esfera), dedicada en gran part a aquest tipus de trigonometria, sigui l'única obra que s'hagi conservat de Menelau. Tot i això no ha sobreviscut cap edició en grec sinó que és a través de traduccions, com la feta al àrab que va ser traduïda posteriorment al llatí per Gerard de Cremona en el segle XII, la forma en la qual s'ha conservat l'Sphaerica. És la primera obra en la qual es dóna una definició de triangle esfèric,[4] objecte matemàtic fonamental per a l'astronomia. L'estudi d'aquests triangles va ser el punt de partida de la trigonometria esfèrica. En el tercer llibre d'aquesta obra és on es demostra per primera vegada el conegut Teorema de Menelau.[5]La influència d'aquesta obra és cabdal perquè resulta molt complicat trobar obres astronòmiques posteriors on no es citin resultats d'aquest treball (principalment el Teorema de Menelau).

Altres obres[modifica | modifica el codi]

Tot i no tenir en l'actualitat més obres de Menelau, es pot afirmar amb una certa seguretat que l'Sphaerica no va ser l'única obra de Menelau ja que s'han trobat en diversos escrits referències a obres que no han arribat als nostres dies. En un registre matemàtic àrab de la segona meitat del segle X aproximadament (el Fihrist de Ibn al-Nadim que es traduiria com Índex) es troben esmentades diverses obres de Menelau.

- Tractat de Cordes en un cercle. Teó d'Alexandria cita en un dels seus llibres, on comenta l'Almagest de Ptolomeu, que Menelau havia escrit un tractat semblant a la taula de cordes de Ptolomeu en sis llibres. Aquest tractat girararia entorn a les relacions trigonomètriques que relacionaven els sinus de diversos angles, altres propietats similars dins del cercle unitat així com alguns polígons regulars inscrits en el propi cercle.[1]

- Tractat sobre els arcs del zodíac. També se li atribueix presumiblement un catàleg d'estrelles fixes per les referències donades pels escriptors àrabs al-Battani (c. 929), al-Suffi (c.986) i Hajji- Khalifa. Aquest fet pot portar a pensar que algunes de les observacions fetes per Menelau fossin en aquest catàleg però és difícil d'assegurar.

- Elements de la Geometria. Obra dividida en tres llibres i editada per Thābit b.Qurra. El primer llibre tractava de triangles, el segon portava per títol De cognitione quantitatis discretae corporum permixtorum tal com el va traduir Wenrich i l'últim llibre possiblement seria un tractat sobre balanç hidrostàtic (arran del llibre de l'àrab al-Chazini sobre hidrostàtica on cita treballs de Menelau).[6] Els interessos de Menelau en la mecànica van ser principalment l'estudi dels pesos específics i l'anàlisi d'aliatges.

És probable que en el primer llibre d'aquest text (o potser en l'obra explicada a continuació) figurés una demostració directa, en comptes de per reducció a l'absurd, d'una proposició d'Euclides. Aquesta proposició era la següent: "Si dos triangles tenen dos costats iguals, però un té la base més gran que la base de l'altre, aleshores l'angle descrit pels dos costats en un triangle serà més gran que en l'altre".[1]La demostració explicada a continuació prova, de fet, que l'angle del triangle amb la base més gran serà el més gran.

Siguin ABC i DEF els dos triangles amb AB = DE, AC = DF, i BC > EF, és a dir ABC és el triangle amb la base més gran.

Triangles ABC i DEF.

A continuació la idea serà construir un triangle congrüent a DEF al voltant del punt B (que serà l'equivalent al punt E del segon triangle). Així doncs es posa ara al costat BC un punt G tal que BG = EF. Tot seguit es trasllada l'angle \widehat{DEF} a B creant un punt H tal que \widehat{DEF} =\widehat{GBH} i s'uneix B amb H i H amb G.

Construcció emprada en la demostració.

D'aquesta manera s'ha obtingut que el triangle BGH és congrüent a DEF (es té una isometria per passar d'un a l'altre) ja que HG = DF = AC. Ara s'allarga la recta que uneix H amb G fins al punt de tall amb el costat AC que es denotarà per K. Com HK és un allargament del segment HG és obvi que és més gran que aquest darrer i per tant més gran que AC. D'aquest últim fet es veu que també és més gran que AK fàcilment. Per tant l'angle \widehat{KAH} és més gran que l'angle\widehat{KHA}. I ja que AB = BH es té que \widehat{BAH} =\widehat{BHA} al tractar-se ABH d'un triangle isòsceles.

En resum es pot assegurar que \widehat{EDF} =\widehat{BHG} =\widehat{AHB} +\widehat{KHA} <\widehat{BAH} +\widehat{KAH} =\widehat{BAK} = \widehat{BAC} .[1]

En un altre escrit s'assegura que Elements de geometria contenia la demostració de la duplicació del cub d'Arquites; aquesta demostració consisteix en la intersecció d'un tor i un cilindre. Segons una conjectura del historiador francès Paul Tannery aquest fet tindria molta relació amb l'estudi de la corba paradoxal (en paraules de Menelau), la qual Pappos assegura en una de les seves obres que l'alexandrí va estudiar. Tannery va proposar que aquesta corba es podria tractar de la corba de Viviani (corba que pot aparèixer en intersecar una semiesfera amb un semicilindre), una corba bastant especial ja que té un punt doble (punt amb dos tangents diferents).[6]

- El Llibre de les Proposicions Esfèriques i Sobre el Coneixement dels Pesos i la Distribució de diferents cossos també són citades en el registre.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Biographical dictionary of mathematicians (en anglès). Nova York: Charles Scribner's Sons, 1970, p. 1690-1696. 
  2. Ptolomeu, Claudi. Almagest (en anglès). Chicago: Encyclopaedia Britannica, 1952, p. 67-69. 
  3. «Plutarch, De facie quae in orbe lunae apparet».
  4. Rooney, pàgines 84-85.
  5. Tot i que alguns estudiosos consideren que el teorema és anterior (potser d'Hiparc de Nicea). Sidoli, pàgines 43-44.
  6. 6,0 6,1 Heath, Tomas L. A History of Greek mathematics (en anglès). Nova York: Dover, p. Volum II 245-273. 

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • van Brummelen, Glen. The Mathematics of the Heavens and the Earth. The early History of Trigonometry. (en (anglès)). New Jersey: Princeton University Press, 2009, p. 53-62. ISBN 978-0-691-12973-0. 
  • Rooney, Anne. The History of Mathematics. (en (anglès)). New York: Rosen Publishing Group, 2013. ISBN 978-1-4488-7227-5. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]