Anàlisi de Fourier

Transformades de Fourier

Transformada de Fourier continua

Sèrie de Fourier

Transformada Discreta de Fourier

Transformada de Fourier en Temps Discret

Transformada de Fourier sobre cossos finits

Anàlisi de Fourier

Transformades relacionades

Senyal temporal d'un baix elèctric de la corda La (55 Hz).

Transformada de Fourier de la senyal temporal d'un ubaix elèctric de la corda A (55 Hz).L'anàlisi de Fourier revela els components oscil·latoris de senyals i funcions.

En matemàtiques, l'anàlisi de Fourier (/ˈfʊrieɪ, -iər/) és l'estudi de la forma com una funció general es pot representar o aproximar a partir de sumes o de funcions trigonomètriques més simples. L'anàlisi de Fourier va sorgir de l'estudi de les sèries de Fourier, i du el nom de Joseph Fourier, que va demostrar que representar una funció com a sumatori de funcions trigonomètriques simplifica en gran mesura l'estudi de la transmissió tèrmica.

Avui en dia, el tema de l'anàlisi de Fourier engloba una vast espectre de les matemàtiques. En les ciències i en enginyeria, s'anomena sovint anàlisi de Fourier al procés de descompondre una funció en components oscil·latoris, mentre que l'operació de reconstruir una funció a partir d'aquestes peces és conegut com síntesi de Fourier. Per exemple, determinar quin component freqüencials són presents en una nota musical implica calcular la transformada de Fourier d'una nota musical. Es pot, doncs, resintetitzar el mateix so incloent els components freqüencials com es revelen en l'anàlisi de Fourier. En matemàtiques, el terme anàlisi de Fourier sovint fa referència a l'estudi de totes dues operacions.

El procés de descomposició en si s'anomena transformació de Fourier. Al seu resultat, la transformada de Fourier, sovint se li dóna un nom més específic, que depèn del domini i d'altres propietats de la funció que es transforma. A més, el concepte original de l'anàlisi de Fourier s'ha estès al llarg del temps per ser aplicat a situacions cada vegada més abstractes i generals, i el camp general és sovint anomenat anàlisi harmònica. Cada transformació utilitzada en l'ànalisi té la seva corresponent transformada inversa que pot ser utilitzada en la síntesi.

Aplicacions

L'anàlisi de Fourier té moltes aplicacions científiques – en física, en equacions diferencials en derivades parcials, en teoria de nombres, en combinatòria, en processament de senyals, en processament digital d'imatges, en teoria de la probabilitat, en estadística, en ciències forenses, en valoració d'opcions, en criptografia, en anàlisi numèrica, en acústica, en oceanografia, en sonars, en òptica, en difracció, en geometria, en anàlisi de l'estructura de les proteïnes, entre d'altres.

Aquesta àmplia aplciabilitat rau en moltes propietats útils de les transformades:

• Les transformades són aplicacions lineals i, mitjançant una certa normalització, són també unitàries (una propietat que sovint és coneguda com teorema de Parseval o, de forma més general, com el teorema de Plancherel, i més generalment mitjançant la dualitat de Pontryagin).
• Les transformades són sovint invertibles.
• Les funcions exponencials són funcions pròpies (o autofuncions) de la diferenciació, la qual cosa significa que aquesta representació transforma equacions diferencials ordinàries amb coeficients constants en equacions algebraïques ordinàries. Per tant, es pot analitzar el comportament d'un sistema lineal i invariant al temps en cada freqüència de forma independent.
• A través del teorema de convolució, les transformades de Fourier transformen la complexa operació de la convolució en una simple multiplicació. Això proporciona una manera eficient de calcular operacions basades en la convolució com ara la multiplicació polinòmica i de la multiplicar grans nombres.
• Es pot avaluar ràpidament la versió discreta de la transformada de Fourier (vegi's més avall) en ordinadors usant l'algorisme de la transformada ràpida de Fourier (FFT, per les seves sigles en anglès).

En ciències forenses, els espectrofotòmetres infra-rojos dels laboratoris utilitzen l'anàlisi de la transformada de Fourier per mesurar les longituds d'ona de la llum dins de l'espectre infra-roig que un material absorveix. S'utilitza el mètode FT per descodificar les senyals mesurades i obtenir les dades de longitud d'ona. I, utilitzant un ordinar, aquèsts càlculs de Fourier es fan ràpidament; així, en qüestió de segons, un instrument operat amb un ordinador pot produir un patró d'absorció infra-roja comparable al de l'instrument.

La transformada de Fourier també és útil com a representació compacta d'una senyal. Per exemple, la compressió JPEG utilitza una variant de la transformada de Fourier (transformada cosinus discreta) de trossos quadrats petits de la imatge digital. Els components de Fourier de cada quadrat són arrodonits a una precisió més baixa, i els components baixos s'eliminen completament, de tal manera que els components restants es poden emmagatzemar més compactament. En la reconstrucció de la imatge, cada imatge és reagrupada a partir de les components aproximades restants de la transformada de Fourier, que se'ls aplica la transformada inversa per produir l'aprosimació de la imatge original.

Aplicacions en processament de senyals

En el processament de senyals, com ara d'àudio, d'ones de ràdio, ones de llum, ones sísmiques, o fins i tot imatges, l'ànalisi de Fourier pot aïllar components d'amplada de banda estreta d'una ona composta, i detectar-les o eliminar-les més fàcilment. Una àmplia família de tècniques de processament de senyals estan basades en fer la transformada de Fourier de la senyal, manipular-la posteriorment de forma simple i finalment invertint la transformada.

Alguns d'aquests exemples són:

• L'equalització de gravacions d'àudio a través d'una sèrie de filtres passabanda;
• La recepció digital de ràdio sense un circuit superheterodí, com en els mòbils moderns o en els escàners de ràdio;
• El processament d'imatges, per treure artifacts periòdics o anisotròpics com els dentats del vídeo entrellaçat, o els patrons ondulatoris de les interferències electromagnètiques en les càmeres digitals;
• La correlació creuada d'imatges similars per l'aliniament;
• La cristal·lografia de raigs X per reconstruir una estructura de cristall a partir del seu patró de difracció;
• L'espectrometria de ressonància ciclotrònica per transformada de Fourier per determinar la massa de ions a partir de les freqüències del moviment dels ciclotrons en un camp magnètic;
• Moltes altres formes d'espectroscopia, com ara l'infra-roja i l'espectroscopia de ressonància magnètica nuclear;
• La generació d'espectrogrames de so utilitzats en la seva anàlisi;
• El sonar passiu, utilitzat per classificar els objectius basant-se en el soroll de màquina.

Bibliografia complementària

• Howell, Kenneth B. Principles of Fourier Analysis. CRC Press, 2001. ISBN 978-0-8493-8275-8. 
• Kamen, E.W.; Heck, B.S.. Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab. 2. Prentiss-Hall, 2000-03-02. ISBN 978-0-13-017293-8. 
• Müller, Meinard. The Fourier Transform in a Nutshell. Springer, 2015. DOI 10.1007/978-3-319-21945-5. ISBN 978-3-319-21944-8. 
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V.. Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press, 1998. ISBN 978-0-8493-2876-3. 
• Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Second. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 978-0-9660176-3-2. 
• Stein, E. M.; Weiss, G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press, 1971. ISBN 978-0-691-08078-9. 

Enllaços externs

• Taules de Transformades Integrals a EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Una Explicació Intuïtiva de la Teoria de Fourier per Steven Lehar.
• Lliçons sobre Processament d'Imatges: Una col·lecció de 18 lliçons en format pdf de la Vanderbilt University. La lliçó 6 és sobre les transformades de Fourier en 1 i 2 dimensions. Les lliçons 7–15 l'utilitzen., per Alan Peters
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger. «∑ Summation (and Fourier Analysis)». Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham, 2009.