Pertorbació (astronomia)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En astronomia, una pertorbació és el complex moviment d'un cos massiu subjectes a forces diferents a l'atracció gravitatòria d'un altre cos massiu únic.[1] Les altres forces poden incloure un tercer cos (quart, cinquè, etc.), la resistència, a partir d'una atmosfera, i l'atracció fora del centre d'un cos aplatat o d'una altra manera deformat.[2]

Les forces pertorbadores del Sol a la Lluna en dos llocs en la seva òrbita. Les fletxes blaves representen la direcció i magnitud de la força gravitacional de la Terra. Aplicant això al cas de la Terra i la posició de la Lluna no pertorben les posicions relatives entre si. Quan es resta de la força sobre la Lluna (fletxes negres), el que queda és la força pertorbadora (fletxes vermelles) a la Lluna respecte a la Terra. A causa de la força pertorbadora és diferent en direcció i magnitud en els costats oposats de l'òrbita, que produeix un canvi en la forma de l'òrbita.

Introducció[modifica | modifica el codi]

L'estudi de les pertorbacions comencen amb els primers intents de predir els moviments planetaris al cel, tot i que en l'antiguitat les causes segueixen sent un misteri. Newton, en el moment que ell va formular les seves lleis del moviment i de la gravitació, les va aplicar a les primeres anàlisis de les pertorbacions,[2] reconeixent les complexes dificultats del seu càlcul.[3] Molts dels grans matemàtics, des de llavors, han prestat atenció als diversos problemes que es plantegen; Al llarg dels segles XVIII i XIX que hi havia demanda per a taules precises de la posició de la Lluna i els planetes amb la finalitat de la navegació marina.

Els complexos moviments de les pertorbacions gravitacionals pot desglossar. El moviment hipotètic que segueix el cos sota l'efecte gravitacional de només un altre cos sol ser una secció cònica, i es pot descriure fàcilment amb els mètodes de la geometria. Això s'anomena un problema dels dos cossos, o una òrbita kepleriana impertorbable. Les diferències entre això i el moviment real del cos són dos pertorbacions als efectes gravitacionals addicionals del cos o dels cossos restants. Si només hi ha un altre òrgan important llavors el moviment pertorbat és un problema dels tres cossos, si hi ha diversos altres òrgans és un problema n-cos. Solucions analítiques (expressions matemàtiques per predir les posicions i moviments en qualsevol moment futur) per als problemes de dos cossos i tres cossos existir, no s'ha trobat per al problema n-cos a excepció d'alguns casos especials. Fins i tot el problema de dos cossos es converteix en insoluble si un dels cossos és de forma irregular.[4]

La trama de la posició de Mercuri en la seva òrbita, amb i sense pertorbacions de diversos planetes. Les pertorbacions provoquen que Mercuri es mogui en una trajectòria de bucle al voltant de la seva posició impertorbable.
La longitud i latitud orbital de Mercuri, tan pertorbada per Venus, Júpiter i tots els planetes del Sistema solar, a intervals de 2,5 dies. Mercuri quedaria centrada en el punt de mira, si no hi ha pertorbacions.

La majoria dels sistemes que involucren múltiples atraccions gravitacionals presenten un cos principal que és dominant en els seus efectes (per exemple, un estel, en el cas de l'estrella i el seu planeta, o un planeta, en el cas del planeta i seu satèl·lit). Els efectes gravitacionals dels altres cossos poden tractar com a pertorbacions del moviment impertorbable hipotètic del planeta o satèl·lit al voltant del seu cos principal.

Anàlisi matemàtica[modifica | modifica el codi]

Pertorbacions generals[modifica | modifica el codi]

En els mètodes de pertorbacions generals, equacions diferencials generals, ja sigui de moviment o de modificació en els elements orbitals, generalment es resolen analíticament pel desenvolupament en sèrie. El resultat s'expressa normalment en termes de funcions algebraiques i trigonomètriques dels elements orbitals del cos de què es tracti i dels cossos pertorbadors. Generalment, això es pot aplicar a molts conjunts diferents de condicions, i no és específic de cap grup particular d'objectes que graviten.[5] Històricament, les pertorbacions generals primer van ser investigats. Els mètodes clàssics es coneixen com a variació dels elements, variació dels paràmetres o variació de les constants d'integració. En aquests mètodes, es considera que el cos sempre s'està movent en una secció cònica, però, la secció cònica canvia constantment a causa de les pertorbacions. Si totes les pertorbacions cessessin en qualsevol moment particular, el cos seguiria en aquest (ara immutable) secció cònica de manera indefinida, i és coneguda com a l'òrbita osculadora i en qualsevol moment en particular els seus elements orbitals són els que són buscats pels mètodes d'aplicació general de pertorbacions.[2]

Les pertorbacions generals s'aprofita del fet que en molts dels problemes de la mecànica celeste, l'òrbita de dos cossos canvia molt ràpidament a causa de les pertorbacions, l'òrbita de dos cossos és una bona primera aproximació. Les pertorbacions generals és aplicable només si les forces pertorbadores són d'un ordre de magnitud menor, o menys, que la força de gravetat del cos principal.[4]

En el Sistema solar, aquest acostuma a ser el cas; Júpiter, el segon cos més gran, té una massa al voltant d'1/1000 que del Sol.

Els mètodes de pertorbació generals són els preferits per a alguns tipus de problemes, com la font de certs moviments observats es troben fàcilment. Això no és necessàriament així per a les pertorbacions especials, els moviments es poden predir amb exactitud similar, però cap informació sobre les configuracions dels cossos pertorbadors (per a exemple, una ressonància orbital) que els va causar estarien disponibles.[4]

Pertorbacions especials[modifica | modifica el codi]

En els mètodes de pertorbacions especials, els conjunts de dades numèriques, que representen els valors de les posicions, velocitats i forces inercials en els cossos dels interessos, es fan a partir de la integració numèrica de les equacions diferencials del moviment.[6] En efecte, les posicions i velocitats són pertorbats directament, i no s'intenta calcular les corbes de les òrbites o els elements orbitals.[2] Les pertorbacions especials es poden aplicar a qualsevol problema en la mecànica celeste, ja que no es limita als casos en què les forces pertorbadores són petites.[4] Una vegada que s'aplicava només als cometes i els planetes menors, els mètodes de pertorbació especials són ara la base de les efemèrides planetàries generades per la màquina més precisa dels grans anuaris astronòmics.[2] Les pertorbacions especials també s'utilitzen per al modelatge d'una òrbita amb l’ajut dels ordinadors.

Mètode de Cowell[modifica | modifica el codi]

El mètode de Cowell. Les forces de tots els cossos pertorbadors (negre i gris) se sumen per formar la força total sobre el cos i (vermell), i això s'integra numèricament a partir de la posició inicial (‘’l'època d'osculació).

El mètode de Cowell (anomenat així per Philip H. Cowell, qui, amb A.C.D. Cromellin, utilitza un mètode similar per predir el retorn del cometa Halley) és potser el més simple dels mètodes especials de pertorbació.[7] En un sistema de n els cossos interaccionen entre si, aquest mètode resol matemàticament per la Llei de la gravitació universal de Newton en el cos i sumant les interaccions individuals dels altres j cossos:

\mathbf{\ddot{r}}_i = \sum_{\underset{j \ne i}{j=1}}^n {Gm_j (\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i) \over r_{ij}^3}

on \mathbf{\ddot{r}}_i és el vector acceleració del cos i, G és la constant gravitacional,m_j és la massa del cos j, \mathbf{r}_i i \mathbf{r}_j són els vectors de posició d'objectes i and j respectivament, i r_{ij} és la distància des de l'objecte i a l'objecte j. Tots els vectors que fa al baricentre del sistema. Aquesta equació es resol en components en x, y, i z i aquests s'integren numèricament per formar els nous vectors de velocitat i de posició. Aquest procés es repeteix tantes vegades com sigui necessari. L'avantatge del mètode de Cowell és la facilitat d'aplicació i de programació. Un desavantatge és que quan les pertorbacions arriben a ser grans en magnitud (com quan un objecte fa un enfocament prop d'una altra) els errors del mètode també es fan grans.[8] Tanmateix, per a molts dels problemes en la mecànica celeste, això mai és el cas. Un altre desavantatge és que en els sistemes amb un cos central dominant, tal com el Sol, cal portar a molts dígits significatius en l'aritmètica degut a la gran diferència en les forces del cos central i el cos pertorbador, encara que amb els ordinadors moderns aquesta no és quasi la limitació que una vegada ho va ser.[9]

El mètode d'Encke[modifica | modifica el codi]

El mètode d’Encke. Exagerat molt aquí, la petita diferència δ r (blau) entre l'osculadora, òrbita no pertorbada (negre) i l'òrbita pertorbada (vermell), s'integra numèricament a partir de la posició inicial (l' època de osculació).

comença amb l'òrbita osculadora com a referència i s'integra numèricament per resoldre la variació de la referència com una funció de temps.[10] Els seus avantatges són que les pertorbacions són generalment petites en magnitud, de manera que la integració pot procedir a passos més grans (amb el resultat d'errors menors), i el mètode és molt menys afectat per les pertorbacions extremes. El seu desavantatge rau en la complexitat, no es pot utilitzar indefinidament sense l'actualització ocasional de l'òrbita osculadora i continuar a partir d'aquí, un procés conegut com a rectificació.[8] El mètode Encke és similar al mètode de pertorbació general de la variació dels elements, excepte la rectificació que es realitza a intervals discrets en lloc de contínuament.[11]

Deixar \boldsymbol{\rho} que sigui el vector de radi de l'òrbita osculadora, \mathbf{r} el vector de radi de l'òrbita pertorbada, i \delta \mathbf{r} la variació de l'òrbita osculadora,

\delta \mathbf{r} = \mathbf{r} - \boldsymbol{\rho}, i l'equació de moviment de \delta \mathbf{r} simplement és

 

 

 

 

(1)

\ddot{\delta \mathbf{r}} = \mathbf{\ddot{r}} - \boldsymbol{\ddot{\rho}}.

 

 

 

 

(2)

\mathbf{\ddot{r}} and \boldsymbol{\ddot{\rho}} són només les equacions de moviment de \mathbf{r} i \boldsymbol{\rho},

\mathbf{\ddot{r}} = \mathbf{a}_{\text{per}} - {\mu \over r^3} \mathbf{r} per l'òrbita pertorbada i

 

 

 

 

(3)

\boldsymbol{\ddot{\rho}} = - {\mu \over \rho^3} \boldsymbol{\rho} per l'òrbita no pertorbada,

 

 

 

 

(4)

on \mu = G(M+m) és el paràmetre gravitacional amb M i m les masses del cos central i el grup pertorbat, \mathbf{a}_{\text{per}} és l'acceleració pertorbadora, i r i \rho són les magnituds de \mathbf{r} i \boldsymbol{\rho}.

Substituint les equacions (3) i (4) en l'equació (2),

\ddot{\delta \mathbf{r}} = \mathbf{a}_{\text{per}} + \mu \left( {\boldsymbol{\rho} \over \rho^3} - {\mathbf{r} \over r^3} \right),

 

 

 

 

(5)

que, en teoria, podria ser integrat per trobar dues vegades \delta \mathbf{r}. Des de l'òrbita fosca es calcula fàcilment per mètodes de dos cossos, \boldsymbol{\rho} i \delta \mathbf{r} es comptabilitzen i \mathbf{r} pot ser resolt. A la pràctica, la quantitat entre parèntesis,  {\boldsymbol{\rho} \over \rho^3} - {\mathbf{r} \over r^3} , és la diferència de dos vectors gairebé iguals, i la manipulació addicional és necessari per evitar la necessitat de dígits addicionals significatius.[12][13] El mètode d'Encke va ser el més utilitzat abans de l'arribada dels ordinadors moderns, quan gran part del càlcul orbital es va realitzar en calculadores mecàniques.

Naturalesa periòdica[modifica | modifica el codi]

Gravity Simulatorgràfica de l'excentricitat orbital canviant de Mercuri, Venus, la Terra i Mart en els propers 50.000 anys. El punt 0 d'aquesta gràfica és l'any 2007.

En el Sistema Solar, moltes de les pertorbacions d'un planeta per si mateixes són periòdiques, que consisteix en petits impulsos cada vegada que un planeta passa a altres en la seva òrbita. Això fa que els organismes a seguir els moviments que són periòdiques o quasi-periòdiques - com la Lluna en la seva òrbita fortament pertorbada, que és el tema de la teoria lunar. Aquesta naturalesa periòdica porta al descobriment de Neptú en el 1846, com a resultat de les seves pertorbacions de l'òrbita d'Urà.

Les pertorbacions mútues en curs dels planetes provoquen a llarg termini les variacions quasi-periòdiques en els seus elements orbitals, més evidents quan els períodes orbitals de dos planetes són gairebé en sincronia. Per exemple, cinc òrbites de Júpiter (59,31 anys) és gairebé igual a dos Saturn (58,91 anys). Això provoca grans pertorbacions de tots dos, amb un període de 918 anys, el temps necessari per a la petita diferència en les seves posicions en relació a fer un cercle complet, on Laplace va ser el primer qui va descobrir.[2] Actualment Venus té l'òrbita amb la menor excentricitat, és a dir, és el més proper a la circular, de totes les òrbites planetàries. Cada 25.000 anys, la Terra tindrà una (menys excèntrica) òrbita més circular que Venus. S'ha demostrat que les pertorbacions periòdiques a llarg termini dins del sistema solar poden esdevenir caòtica en escales de temps molt llargues, en algunes circumstàncies una o més planetes poden creuar l'òrbita d'un altre, donant lloc a col·lisions.[14]

Les òrbites de molts dels cossos menors del Sistema Solar, com cometes, són a vegades molt pertorbats, sobretot pels camps gravitatoris dels gegants gasosos. Si bé moltes d'aquestes pertorbacions són periòdiques, altres no ho són, i aquests, en particular, poden representar aspectes de moviment caòtic. Per exemple, a l'abril de 1996, la influència gravitatòria de Júpiter va fer que el període orbital del cometa Hale-Bopp disminuís a partir de 4206-2380 anys, un canvi que no revertirà en cap manera periòdica.[15]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York, 1971. ISBN 0-486-60061-0. , e.g. at ch. 9, p. 385.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 Moulton, Forest Ray. «An Introduction to Celestial Mechanics, Second Revised Edition», 1914. chapter IX. (a Google books)
  3. El 1684, Newton va escriure: "By reason of the deviation of the Sun from the center of gravity, the centripetal force does not always tend to that immobile center, and hence the planets neither move exactly in ellipses nor revolve twice in the same orbit. Each time a planet revolves it traces a fresh orbit, as in the motion of the Moon, and each orbit depends on the combined motions of all the planets, not to mention the action of all these on each other. But to consider simultaneously all these causes of motion and to define these motions by exact laws admitting of easy calculation exceeds, if I am not mistaken, the force of any human mind." (quoted by Prof G E Smith (Tufts University), in "Three Lectures on the Role of Theory in Science" 1. Closing the loop: Testing Newtonian Gravity, Then and Now); and Prof R F Egerton (Portland State University, Oregon) after quoting the same passage from Newton concluded: "Here, Newton identifies the "many body problem" which remains unsolved analytically."
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 Roy, A.E.. Orbital Motion. third. Institute of Physics Publishing, 1988. ISBN 0-85274-229-0. , chapters 6 and 7.
  5. Bate, Mueller, White (1971), e.g. at p.387 and at section 9.4.3, p.410.
  6. Bat, Mueller, White (1971), pp 387-409.
  7. Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. Methods of Celestial Mechanics. Academic Press, New York and London, 1961. , p. 186.
  8. 8,0 8,1 Danby, J.M.A.. Fundamentals of Celestial Mechanics. second. Willmann-Bell, Inc., 1988. ISBN 0-943396-20-4. , chapter 11.
  9. Herget, Paul. The Computation of Orbits. privately published by the author, 1948. , p. 91 ff.
  10. Així doncs, anomenat així per Johann Franz Encke; Battin, Richard H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, Revised Edition. American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc., 1999. ISBN 1-56347-342-9. , p. 448
  11. Battin (1999), sec. 10.2.
  12. Bate, Mueller, White (1971), sec. 9.3.
  13. Roy (1988), sec. 7.4.
  14. vegeu referències a l'Estabilitat del Sistema Solar
  15. Don Yeomans. «Comet Hale–Bopp Orbit and Ephemeris Information». JPL/NASA, 10-04-1997. [Consulta: 23-10-2008].


Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

  • Solex (per Aldo Vitagliano) prediccions per la posició / òrbita / acostaments de Mart (anglès)
  • Gravitation Sir George Biddell Airy's 1884 book on gravitational motion and perturbations, using little or no math. A good source if you can stand the flowery 19th-century English. (a Google books) (anglès)