Fórmula de la integral de Cauchy

Aquesta fórmula, deguda a Augustin Louis Cauchy, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat 1

Sigui f(z) una funció analítica en un domini simplement connex D. Llavors, per qualsevol punt $z_0 \,$ contingut en l'interior de D i per qualsevol camí C tancat simple que contingui el punt es té:

$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\cdot f(z_0)$

$k=n+1. k ordre polo de valor z=z_0$

on la integració està agafada amb sentit antihorari.

Enunciat 2

Sigui $f \,$ una funció holomorfa (funció analítica) sobre $\gamma$, $\gamma$ un camí (una corba diferenciable amb continuïtat a trossos) tancat i $z_0\in \gamma$

$f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i \cdot I_\gamma(z_0)} \int_{\gamma}\frac{f(\omega)}{\omega-z_0} d\omega$

Essent $z_0 \,$ un punt, $I_\gamma(z_0) \,$ l'índex del punt respecte a la corba (el nombre de vegades que la corba rodeja el punt tenint en compte el sentit en què ho fa).

Vegeu també

• Teorema de la integral de Cauchy