Distribució de Pareto

Pareto Type I

Funció de densitat de probabilitat Funcions de densitat de probabilitat de Pareto de tipus I per diferents valors de $\alpha$ amb $x_{\mathrm {m} }=1.$ A mesura que $\alpha \rightarrow \infty ,$ la distribució tendeix a $\delta (x-x_{\mathrm {m} }),$ on $\delta$ és la funció delta de Dirac.
Funció de distribució de probabilitat Funcions de distribució acumulada de Pareto de tipus I per diferents valors de $\alpha$ amb $x_{\mathrm {m} }=1.$
Tipus	família exponencial, Distribució de cua pesada i Distribució de Pareto generalitzada
Epònim	Vilfredo Pareto
Paràmetres	$x_{\mathrm {m} }>0$ escala (real) $\alpha >0$ escala (real)
Suport	$x\in [x_{\mathrm {m} },\infty )$
fdp	${\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$
FD	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }$
Esperança matemàtica	${\begin{cases}\infty &{\text{per }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{per }}\alpha >1\end{cases}}$
Mediana	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}$
Moda	$x_{\mathrm {m} }$
Variància	${\begin{cases}\infty &{\text{per }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{per }}\alpha >2\end{cases}}$
Coeficient de simetria	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ per }}\alpha >3$
Curtosi	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ per }}\alpha >4$
Entropia	$\log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)$
FGM	$\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ per }}t<0$
FC	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)$
Informació de Fisher	${\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}\\-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}$ Dreta: ${\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha ^{2}}{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&0\\0&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}$
Mathworld	ParetoDistribution

La distribució de Pareto, que porta el nom de l'enginyer civil, economista i sociòleg Vilfredo Pareto, (pronunciació en italià: |p|a|ˈ|r|e|ː|t|o|), és una distribució de probabilitat que s'utilitza per descriure diferents fenòmens socials, de control de qualitat, científics, geofísics, actuarials i altres tipus de fenòmens observables. Inicialment es va aplicar en la descripció de la distribució de la riquesa a la societat, ja que encaixava amb la tendència que una gran porció de la riquesa és propietat d'una fracció petita de la població. El principi de Pareto o la "regla 80-20" que afirma que "el 80% dels efectes són conseqüència del 20% de les causes" també porta el nom de Pareto, tot i que el concepte és diferent, i només les distribució de Pareto amb paràmetre de forma (α) de log₄5 ≈ 1.16 reflecteixen aquest precís cas. Observacions empíriques han demostrat que aquesta distribució 80-20 encaixa un ampli espectre de casos, inclosos fenòmens naturals i activitats humanes.

Definicions

Sigui X una variable aleatòria que segueix una distribució de Pareto (de tipus I), llavors la probabilitat que X sigui més gran que un cert nombre x, és a dir funció de supervivència ve donada per

${\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}$

on x_m és el valor mínim possible (necessàriament positiu) de X, i α és un paràmetre positiu. La distribució de Pareto de tipus I és caracteritzada pel paràmetre d'escala x_m i pel paràmetre de forma α, que és conegut com índex de cua (de l'anglès tail index). Quan s'utilitza aquesta distribució per modelar la distribució de la riquesa, llavors el paràmetre α s'anomena índex de Pareto.

Funció de distribució acumulada

A partir de la definició, la funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria de Pareto amb paràmetres α i x_m és

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Funció de densitat de probabilitat

Del resultat anterior se'n desprèn (aplicant la diferenciació) que la funció de densitat de probabilitat és

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Quan es representa en eixos lineals, la distribució pren una forma de corba en J i tendeix als eixos ortogonals asimptòticament. Tots els segments de la corba són similars entre ells (més enllà d'un factor d'escala). Quan s'empra la representació logarítmica, la distribució és una línea recta.

Propietats

Moments i funció característica

• L'esperança d'una variable aleatòria que segueix la distribució de Pareto és

$\operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}$

• La variància d'una variable aleatòria que segueix una distribució de Pareto és

$\operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}$

(Si α ≤ 1, la variància no existeix.)

• Els moments són

$\mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}$

• La funció generadora de moments només és definida per valors no positius de t ≤ 0 com

$M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)$

$M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.$

• La funció característica ve donada per

$\varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),$

on Γ(a, x) és la funció gamma incompleta.

Es poden resoldre els paràmetres usant el mètode dels moments.

Mitjana geomètrica

La mitjana geomètrica (G) és

$G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).$

Mitjana harmònica

La mitjana harmònica (H) és

$H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).$

Representació gràfica

La distribució corbada amb forma de 'llarga cua' característica que s'obté quan es representa en escala lineal emmascara la simplicitat subjacent de la funció quan es representa logarítmicament, cas en què es mostra com una línea recta amb pendent negatiu. Deriva de la fórmula de la funció de densitat de probabilitat que, per x ≥ x_m,

$\log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.$

Com que α és positiu, el gradient −(α + 1) és negatiu.

Distribucions relacionades

Distribucions generalitzades de Pareto

Existeix una jerarquia de les distribucions de Pareto conegudes com Tipus I, II, III, IV, i la distribució de Feller–Pareto. La distribució de Pareto de Tipus IV conté les distribucions de Pareto de Tipus I–III com a casos particulars. La distribució de Feller–Pareto generalitza la distribució de Pareto de Tipus IV.

Distribució de Feller-Pareto

Feller va definir la variable de Pareto a partir de la transformació U = Y⁻¹ − 1 d'una variable aleatòria beta Y, que té com a funció de densitat de probabilitat és

$f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,$

on B( ) és la funció betea. Si

$W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,$

llavors W segueix una distribució de Feller–Pareto FP(μ, σ, γ, γ₁, γ₂).

Si $U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)$ i $U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)$ són variables Gamma independents, una altra possible construcció d'una variable aleatòria de Feller–Pareto (FP) és

$W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }$

i s'escriu W ~ FP(μ, σ, γ, δ₁, δ₂). Casos especials de distribucions de Feller–Pareto són

$FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).$

Mètodes computacionals

Generació de mostres aleatòries

Es poden generar mostres aleatòries utilitzant el mètode de la transformada inversa. Donada una variable aleatòria U que segueix una distribució uniforme en l'interval unitari (0, 1], la variable T, definida com

$T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}$

segueix una distribució de Pareto. Si U està uniformement distribuïda en l'interval [0, 1), es pot intercanviar per (1 − U).

Bibliografia

• M. O. Lorenz «Methods of measuring the concentration of wealth». Publications of the American Statistical Association, vol. 9, 70, 1905, pàg. 209–19. Bibcode: 1905PAmSA...9..209L. DOI: 10.2307/2276207. JSTOR: 2276207.
• Pareto, Vilfredo. Librairie Droz. Ecrits sur la courbe de la répartition de la richesse, 1965, p. 48 (Œuvres complètes : T. III). ISBN 9782600040211. 

• Pareto, Vilfredo «La legge della domanda». Giornale Degli Economisti, vol. 10, 1895, pàg. 59–68.
• Pareto, Vilfredo «Cours d'économie politique». , 1896. DOI: 10.1177/000271629700900314.

Vegeu també

• Llei de Bradford
• Efecte Mateu
• Òptim de Pareto
• Llei de Zipf

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Pareto distribution. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric W., «Pareto distribution» a MathWorld (en anglès).
• Aabergé, Rolf (May 2005), Gini's Nuclear Family, <http://www3.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/25%20may%20paper/PAPER_Aaberge.pdf>

• (December 1997) "Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Causes" a IEEE/ACM Transactions on Networking. 5: 835–846