Llei de Stefan-Boltzmann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Intensitat, o energia emesa per unitat de superfície i temps, en funció de la temperatura.
El ferro calent es refreda mitjançant emissió de radiació infraroja i llum.

La llei de Stefan-Boltzmann estableix que la intensitat d'energia total emesa per radiació, {\textstyle I}, per part d'un cos negre és proporcional a la quarta potència de la temperatura absoluta, {\textstyle T}, del cos negre.[1] Matemàticament es pot expressar com:

{\displaystyle I = \sigma \cdot T^4 \,}

on {\textstyle \sigma} és la constant de Stefan-Boltzmann (\sigma = 5,670 \,373 \, (21) \cdot 10^{-8} \frac{W}{m^2 \cdot K^4}).[2]

La intensitat d'energia radiant emesa per una superfície real és menor que la d'un cos negre, que és una substància hipotètica, a la mateixa temperatura i ve donada per:

{\displaystyle I = \epsilon \cdot \sigma \cdot T^4 \,}

on {\textstyle \epsilon} és una propietat radiativa de la superfície denominada emissivitat. Amb valors entre 0 i 1, aquesta propietat proporciona una mesura de l'eficiència amb què una superfície emet energia en relació amb un cos negre, el qual té {\textstyle \epsilon = 1}. Això depèn marcadament del material de la superfície i de l'acabat.

Història[modifica | modifica el codi]

Josef Stefan

El 1817 els científics francesos Pierre Louis Dulong (1785-1838) i Alexis Thérèse Petit (1791-1820)[3] estudiaren la velocitat de refredament de termòmetres a diferents temperatures situats dins recipients esfèrics de coure submergits dintre d'aigua, i deduïren una llei que relaciona l'emissió d'energia radiant per segon, {\textstyle E}, amb la temperatura, {\textstyle t}, del termòmetre. La relació és:[4]{\displaystyle E = a \cdot (1,0077)^t + b}

La llei de Stefan[modifica | modifica el codi]

El 1879 el físic eslovè Josef Stefan (1835-1893) publicà[5] una relació diferent on l'energia radiant per segon és proporcional a la quarta potència de la temperatura a partir d'unes mesures del físic irlandès John Tyndall (1820-1893)[6] que indicaven que l'energia emesa per segon d'un filferro de platí a 1200 ºC era 11,7 vegades superior a l'emesa a només 525 ºC. Efectivament es pot escriure la temperatura en kelvin i s'observa la relació de Stefan:[4]

Ludwig Eduard Boltzmann als 31 anys (1875)

{\displaystyle \left ( \frac{1200 + 273}{525 + 273} \right )^4 = 11,6}

Stefan analitzà les dades de Dulong i Petit, i d'altres de posteriors, i trobà que, en considerar la conducció del gas circumdant, la radiació estava més d'acord amb la llei de quarta potència que amb les fórmules obtingudes pels científics francesos.

Aquesta primera llei sobre la radiació del cos negre despertà l'interès dels físics per conèixer més sobre aquest fenomen i s'iniciaren noves investigacions, tant experimentals com tòriques. Una de les més destacades fou el descobriment de la llei de desplaçament de Wien per part del físic alemany Wilhelm Wien (1864-1928) el 1894.[7]

La llei de Stefan-Boltzmann[modifica | modifica el codi]

El 1875 el químic italià Adolfo Bartoli (1851–1896) aplicà la segona llei de la termodinàmica a l'emissió de radiació per part d'un cos calent, plantejant un experiment mental. El raonament de Bartoli fou millorat el 1884 pel físic austríac Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906), que succeí Stefan a la universitat de Viena, el qual aconseguí deduir la llei de Stefan a partir d'un cicle de Carnot aplicant la teoria de la termodinàmica clàssica i la teoria electromagnètica de Maxwell.[8] A partir d'aquest moment s'anomenà a la llei de Stefan, llei de Stefan-Boltzmann.[4]

Verificació experimental[modifica | modifica el codi]

Entre 1893 i 1897 els físics alemanys Otto Richard Lummer (1860-1925) i el seu ajudant Wilhelm Wien, iniciaren al laboratori d'òptica del Physikalisch Technische Reichsanstalt (Institut Imperial de Física y Tecnologia) de Berlín, la primera comprovació experimental de la validesa de la llei de Stefan-Boltzmann.[9] Dissenyaren un cos negre de la següent manera: Se'n adonaren que la solució per a obtindre un cos negre quasi perfecte no era pintar l'exterior d'un cos de negre, sinó el seu interior. El seu disseny consistí en un recipient de platí buit de forma cilíndrica, les quals parets interiors foren ennegrides amb pols de platí que és negre mat, mentre que l'exterior el deixaren sense modificar. En una de les parets feren un petit forat i deixaren aquest cos dintre d'una habitació aïllat durant molt de temps fins que assolís l'equilibri tèrmic.

Wien es traslladà a la Technische Hoschschule d'Aquisgrà i els experiments els realitzà Lummer amb els seus col·laboradors Ferdinand Kurlbaum (1857-1927) primer, i amb Ernst Pringsheim (1859-1917) després, el 1898. Aconseguiren un cos negre millorat que es podia escalfar elèctricament mitjançant unes resistències internes i que podia arribar fins als 1500 ºC.[9] Lummer i Kurlbaum pogueren confirmar la validesa de la llei de Stefan-Boltzmann des del 60 K fins als 1700 K, i proposaren l'ús d'aquest cos negre per a definir la unitat d'intensitat lluminosa.[10]

La teoria de Planck[modifica | modifica el codi]

Max Planck el 1901

L'any 1896, el físic alemany Wilhelm Wien (1864-1928) determinà de manera empírica la llei de distribució de la radiació dels cossos negres o llei de Wien. De manera independent, Ludwig Boltzmann arribà a aquesta mateixa conclusió a partir de consideracions sobre les equacions de Maxwell, per bé que aquesta llei només s'esdevenia a altes freqüències i subestimava la radiació a baixa freqüència. L'any 1900, el físic alemany Max Planck (1858-1947) corregí aquest model tot servint-se de la interpretació estadística de la termodinàmica de Boltzmann, i proposà la que actualment es coneix com llei de Planck, una hipòtesi fonamental en la història de la ciència i que, a la vegada, suposa el naixement de la física quàntica. Aquesta hipòtesi és la quantificació de l'energia. Segons Planck, l'energia no és una magnitud contínua, sinó discreta; la qual només pot agafar uns determinats valors, que estan fixats i són invariables, múltiples d'un valor anomenat quàntum elemental. Planck obtingué una equació que descriu perfectament les característiques de la radiació emesa per un cos negre:

{\displaystyle B_f(T) = \frac{ 2 h f^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h f}{k_B T} - 1}}

on:

A partir d'aquesta equació, si s'integra, s'obté la llei de Stefan-Boltzmann amb la constant de Stefan-Boltzamnn:

{\displaystyle \sigma = \frac{2\pi^5k_{\mathrm B}^4}{15h^3c^2}}

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Costa, J.M. Diccionario de química física. Ediciones Díaz de Santos, 2005, p. 332. ISBN 9788479786915. 
  2. «Stefan-Boltzmann constant». NIST. [Consulta: 15 abril 2015].
  3. Dulong, P.L.; Petit, A.T. «Suite des Recherches sur la Mesure des Températures et sur les Lois de la communication de la chaleur». Anna. Chim. Phys., 7, 2, 1817, pàg. 337-366.
  4. 4,0 4,1 4,2 Birtwistle, G. The Principles of Thermodynamics. Cambridge University Press, 2013. 
  5. Stefan, J. «[http://www.ing-buero-ebel.de/strahlung/Original/Stefan1879.pdf Über die Beziehung Zwischen der Wärmerstrahlung und Temperatur]». Sitzs. Wien. Akad. Wissen. II, 79, 1879, pàg. 391-438.
  6. Tyndall, J. «On Radiation Through the Earth's Atmosphere». Phil. Mag., 24, 1863, pàg. 200-207.
  7. Kragh, E. Generaciones cuánticas. Akal, 2007. ISBN 9788446017226. 
  8. Boltzmann, L.E. «Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie». Ann. Phys., 258, 1884, pàg. 291–294. DOI: 10.1002/andp.18842580616.
  9. 9,0 9,1 Kumar, M. Quántum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad. Editorial Kairós, 2012. ISBN 9788472459014. 
  10. Cahan, D. An Institute for an Empire: The Psysikalisch-Technische Reichsanstalt, 1871-1918. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521525190.