Usuària:Mzamora2/Laboratori

Construcció de la cinta de Möbius a partir d'una banda de paper. La "vora" no és més que d'una sola cara.

Una varietat és un espai topològic abstracte, construït enganxant altres espais senzills. De la mateixa manera que els nens es diverteixen construint amb paper tetràedres, cubs i altres políedres, dibuixant el desenvolupament pla sobre un full blanc, tallant convenientment les vores, doblegant i enganxant, els matemàtics obtenen una circumferència plegant un segment sobre ell mateix, un cilindre o un con plegant una banda plana sobre ella mateixa. Un altre exemple clàssic és la cinta de Möbius il·lustrat al marge amb tot rigor. A més a més es poden afegir nanses a una esfera.

Entre les varietats els més senzilles figuren les corbes i superfícies del pla i de l'espai euclidià. Tradicionalment definides per equacions, s'obtenen totes, igual com els poliedre, a partir d'un desenvolupament pla i d'« instruccions d'enganxament». Aquesta és la manera general de definició de les varietats.

És difícil dir que el primer ha estudiat les corbes o les superfícies. Gauss disposava de la noció de superfície abstracta, però la noció general de varietat en una dimensió qualsevol és deguda a Georg Friedrich Bernhard Riemann. Les varietats han imposat com el marc natural de nombrosos problemes de matemàtiques i de física, permetent treballar en un marc més vast que aquell, massa estret, proveït pels espais vectorials. Es dóna de vegades a aquests últims el nom de espaies plans o de espais euclidians per distingir-los dels espais corbs quant són les varietats.

La topologia algebraica busca a classificar les varietats (però també dels objectes més generals) en en determinant dels invariants, és a dir dels objectes matemàtics - que poden ser nombres reals - socis a cada varietat i que en caracteritzen la topologia. Certes varietats són proveïdes d'estructures més fortes : és de la molla de la topologia diferencial, després de la geometria diferencial, de la geometria riemanniana i de la geometria symplectique d'estudiar-los i de classificar-los. Aquests àmbits són encara avui l'objecte de nombrosos treballs d'investigacions.

Les varietats constitueixen a la vegada un marc i un assumpte d'estudi comuns per als buscadors en matemàtiques i en física. S'han mostrat les bones eines de treball per formalitzar-se la relativitat general d'Einstein i han servit fortament en la física postnewtoniana, del qual la teoria de cordes, la teoria de les membranes. Les varietats s'han fet igualment útils (fins i tot indispensables) en treballs recents de mecànica clàssica.

Introducció

Les targetes

Un es desplaça sobre l'esfera terrastre utilitzant dels targetes geogràfiques planes, reunides en un atles. A la vora d'una targeta representa la informació necessària per «pegar-hi mentalment» la targeta següent. Per efectuar aquest recollement, una certa redundància en la informació és necessària : així la targeta del Europa i aquella del Àsia poden contenir totes dues Moscou. De manera similar, és possible descriure una varietat utilitzant una col·lecció de targetes Reunides en un atles matemàtica, indicant com passar d'una targeta a l'altre. El globus terraqüi proveeix un exemple típic de varietat, ja que pot ser representat amb una col·lecció de targetes geogràfiques.

L'esfera és una varietat riemannienne. Es veu aquí un triangle «infinitament petit» i un « gros » triangle.

Una targeta és una porció de la varietat anàloga a una porció de espai vectorial ; els canvis de targetes indiquen com s'enllacen aquestes porcions de varietats entre elles. Així, per descriure un circumferència és possible de prendre com targetes dos arcs que s'encavalquen ; el canvi de targetes constitueix una informació sobre el recollement a nivell de la zona d'encavalcament.

No és generalment possible descriure una varietat amb l'ajuda d'una sola targeta, perquè l'estructura global de la varietat és diferent de l'estructura senzilla de l'espai model. Per exemple, cap targeta «bac» no pot descriure convenientment la Terra sencera. Les varietats apareixen com espais topològics i les seves topologies són de manera única determinades per la dada dels seus atles respectius.

Seguint la naturalesa de les aplicacions de canvi de targetes, la varietat posseeix una estructura més o menys forta : varietat topològica, varietat diferencial, varietat symplectique, varietat localment plana per exemple. Per a una varietat topològica, la dada d'un atles equival simplement a la dada d'una topologia del qual els oberts prou petits s'identifiquen a l'espai pla. Per a les estructures més fines citades, la introducció de targetes és indispensable per definir-los.

La dimensió i la topologie

Exemples de corbes :  cercles,  paraboles,  hyperboles,  cubique.

La primera noció atribuïda a una varietat és la seva dimensió. Designa el nombre de paràmetres independents que cal fixar-se per posicionar localment un punt sobre la varietat.

• Els corbas són varietats de dimensió un ja que el abscissa curvilínia per exemple en té prou a descriure la posició.
• Sobre una superfície, calen dues coordenades : així sobre una esfera caldrà precisar latitud i longitud, com és el cas per indicar l'emplaçament d'una ciutat sobre el globus terraqüi.
• Existeix nombroses varietats de dimensió superior a dos, que és difícil representar gràficament. En efecte no es poden representar en el nostre espai proper, que és de dimensió tres (amplada, longitud, alçada).

Totes les varietats d'igual dimensió n - on -varietats - tenen la mateixa topologia local. Per definició, una petita porció d'aquestes varietats s'assembla sempre a un espai vectorial realitat de dimensió n . Així una petita porció de corba és l'equivalent corb d'una dreta, una petita porció de superfície l'equivalent corba d'un pla, així successivament.

Per contra, les varietats es distingeixen pel seu aspecte global. Per exemple sobre la figura adjunta, la varietat vermella és formada de dos trossos limitats (dos cercles), i és visiblement impossible deformar continûment aquesta per obtenir una de les tres altres corbes.

Altre exemple, una esfera i un tor (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) no s'assemblen topològicament. Tot cercle traçat sobre una esfera la separa en almenys dos trossos disjunts ; tanmateix, existeix nombrosos cercles traçats sobre un tor que no el separen en trossos disjunts. Més generalment, la topologia es pot complicar per la presència de « forats», de « anses », et cetera.

Varietat abstracta i subvarietat

Representacions imperfectes de la ampolla de Klein en un espai a tres dimensions : presenten una autointersecció de la qual cal s'abstraire.

De nombroses subclasses particulars del pla, de l'espai de dimensió 3 poden ser naturalment proveïts d'una estructura de varietats : el cercle, el cilindre, la esfera, el cinta de Möbius et cetera. Se'ls diu subvarietats o varietats submergides. Existeix a més a més una noció de varietat abstracta, que són construïdes sense que se'ls consideri com una subvarietat. L'exemple més senzill és l espai projectiu de dimensió n : és simplement el conjunt de totes les dretes que passen per l'origen en un espai vectorials de dimensió n +1. Un altre exemple és l'ampolla de Klein, representada davant de manera imperfecta. Per aprehendre-ho millor visualment, cal imaginar un artesà vidrier prenent una ampolla ordinària, perforant el seu fons, allargant el coll, doblegant-lo, i fent-ho penetrar màgicament a través d'un costat de l'ampolla per connectar-lo al fons . Pot ser descrita per un sistema de targetes, i de coordinades representat per la xarxa de meridiàs i de parallèles davant.

El teorema de plongement de Whitney rellotge que tota varietat abstreta de dimensió n pot ser realitzada com a subvarietat d'un espai de dimensió prou gran, és a dir de dimensió 2n . Així l'ampolla de Klein no pot ser submergida a l'espai a tres dimensions, però forma una subvarietat de l'espai a quatre dimensions.

La introducció de les varietats abstractes pot semblar redundant al primer accés. Tanmateix, alliberar-se consideració del «espai ambient», aquell al qual és submergida la varietat, també pot presentar avantatges. En particular, nombrosos modes de construcció de noves varietats a partir de varietats ja definides, a l'exemple dels quocients i dels recollements topològics (veure més lluny), no fan intervenir més que les varietats mateixes, i (sobretot) no l'espai que els podria eventualment envoltar. Quan ben fins i tot en teoria és possible realitzar-los com subvarietats d'un espai vectorial, no seria assenyat fer-ho a la pràctica, i allò no presentaria cap interès.

Història

Un es conforma aquí amb un esbós del moviment històric que ha conduït a l'emergència del concepte general de varietat ; per a una història més detallada de l'evolució i de l'aplicació d'aquest concepte en diverses branques de les matemàtiques (ex. : geometria riemanniana, geometria symplectique), es retorna als articles dedicats.

Primers resultats de geometria intrínseca

És difícil datar quan precisament les preguntes de geometria intrínseca van interessar particularment els geòmetres. Els grecs plantejaven problemes invocant les propietats mètriques d'un conjunt de punts definits i posicionats en el pla ien l'espai . L'interès era explícitament portat sobre el punt de vista extrínsec.

S'atribueix tradicionalment a Euler el descobriment el 1752 d'una propietat dels políedres convexes. Anotant respectivament S , A iF els nombres de cims, espines i cares, demostra la identitat S-A+F=2 , identitat coneguda avui sota el nom de relació d'Euler. El resultat és encara més sorprenent que no fa intervenir ni els longituds, ni els aires. És en fet encara vàlid per als nombres de cims, cares i espines d'una triangulació de l'esfera. És el primer exemple de càlcul de la característica d'Euler d'una superfície.

En 1813, Antoine-Jean Lhuilier observació que la fórmula d'Euler és modificada per a un poliedre no convex, per exemple tenint la forma d'un sòlid amb forats (com el tor (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica), qui té un forat). Es fa Segon-A+F=2-2 gAnotant g el nombre de trous. És allà, el primer càlcul d'un invariant topològic permetent classificar els superfícies de l'espai. Tanmateix, el punt de vista continua sent extrínsec ja que els forats són vistos de l'exterior. Com una formiga caminant sobre una cambra d'aire es pot representar el forat ?

Un dels majors matemàtics del seu temps Carl Friedrich Gauß, interessant-se en la geometria superfícies, estableix un «resultat destacable» (el theorema egregium) : Plantilla:Début citationla curvatura de Gauss d'una superfície de l'espai no depèn de la manera del qual aquesta és submergida a l'espai ambiant.Plantilla:Fin citation

La fórmula de Gauss-Gorra, pressentida per Gauss i demostrada per Pierre-Ossian Bonnet el 1848, donarà l'expressió de la característica d'Euler en termes de curvatura, testimoniant la imbricació de les consideracions geomètriques i topològiques.

De nous espais en les propietats estranyes

La geometria no euclidiana neix de la impossibilitat de demostrar el cinquè postulat d'Euclide. Se'n pot trobar el primer rastre en una temptativa de demostració per l'absurd de Saccheri en 1733. Gauss seria el primer a haver comprès la possibilitat que existeix geometries alternatives a aquelles d'Euclides. Tals geometries seran efectivament desenvolupades per Lobatchevsky i Bolyai.

El cinta de Möbius és introduït de manera gairebé simultània en 1858 per dos matemàtics alemanys August Ferdinand Möbius i Johann Benedict Listing. Es tracta d'una superfície de l'espai, fàcil de realitzar amb una banda de paper, i qui no té més que una sola cara, una sola espina. És el primer exemple de superfície no orientable.

Les varietats de Riemann

Bernhard Riemann.

Georg Friedrich Bernhard Riemann va ser el primer a estendre de manera sistemàtica la noció de superfície en objectes de dimensió més gran, que va batejar Mannigfaltigkeit . Aquesta terminologia ha donat d'altra banda el terme anglès manyfold ocol·lector . En dóna una descripció intuïtiva, una varietat de dimensió n sent un apilament continu de varietats de dimensió n-1 . Anotem que aquesta descripció intuïtiva no és en fet vàlid més que localment és a dir al veïnatge de cada punt de la varietat, en l'accepció moderna de varietat. Riemann utilitza aquest concepte per descriure el conjunt dels valors d'una variable sotmesa a certes restriccions, com el conjunt dels paràmetres que descriuen la posició d'una figura en l'espai.

Les varietats coneixen ràpidament moltes aplicacions, per a l'estudi del successió analítica i dels varietats abelianes en anàlisi complexa, per a l'estudi de les onades différentiables amb l'aplicació de primera tornada de Poincaré, per a la definició dels mecàniques hamiltonienne i lagrangienne en física. En 1904, estudiant les varietats de dimensió tres, Henri Poincaré aixeca un dels problemes més cèlebres de la teoria de les varietats, conegut sota el nom de conjectura de Poincaré, i del qual la prova per Grigori Perelman ha estat validada el juny 2006.

La noció de varietat, encara que havent trobat una popularitat certa, continuava sent borrosa. Hermann Weyl va donar en 1912 una definició intrínseca dels varietats diferencials. Les publicacions dels anys 1930, sobretot en ocasió de la prova del teorema de plongement per Hassler Whitney, van establir els resultats fundadors de la teoria i van donar una popularitat al nou objet.

Aplicacions de les varietats

Les aplicacions de les varietats en matemàtiques són nombroses. Acontentem d'alguns exemples. Per començar, l'anàlisi real clàssica i l'anàlisi funcional han vist el seu terreny d'investigació estendre's lògicament dels espais vectorials topològics a les varietats. Igualment, els processos estocàstics a l'exemple del moviment brownià s'estenen dels espais reals de dimensió acabada a les varietats. També les varietats apareixen de manera episòdica en estadística. Més encara, conjunts interessants tenen a la vegada una estructura algebraica i una estructura de varietat compatibles . Així el conjunt dels rotations en un espai a 3 dimensions forma una 3-variété i un grup. La teoria dels grups de Lie estudia aquestes varietats a propietats algebraiques. La teoria dels espais homogenis estudia les seves accions transitives.

L'espai de les configuracions d'un sistema físic

En física, l'estudi dels sistemes mecànics fa entrar en escena el conjunt de les posicions que el sistema és a priori susceptible d'adoptar, anomenat espai de les configuracions. Aquest posseeix sovint una estructura de varietat ; tanmateix, pot no tenir l'estructura més rígida de varietat diferencial : dels singularitats poden aparèixer. La dimensió d'aquesta varietat s'interpreta com el nombre de paràmetres físics independents que permeten descriure l'estat del sistema.

Així en el cas del pèndol doble en el pla, l'estat del sistema és completament descrit per la dada de dos angles. Un podria per tant ser temptat de dir que l'espai de les configuracions és $[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$. Però en realitat, l'estat descrit per la parella d'angles $(0,0)$ és el mateix que aquell descrit per $(2\pi ,2\pi )$. Per tant es tracta d'identificar els costats oposats del quadrat $[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$ dos a dos. S'obté així un tor (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica). De manera equivalent, un angle és programat de manera bijectiva per un punt del cercle $\mathbb {S} ^{1}$, per tant una parella d'angles és programada de manera bijectiva per un punt de l'espai $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$, que defineix també el tor. El primer angle permet designar un punt sobre el cercle vermell, el segon un punt sobre el cercle rosa. El punt del tor designat pels dos angles s'obté a la intersecció de dos cercles de coordenades (en gris).

El pèndol doble i el seu espai de configuració : el tor (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica)

La posició del pèndol doble és descrita per dos paràmetres angulars.

La posició d'un punt sobre el tor igualment.

Les lleis de la física s'interpreten llavors com dels equacions diferencials escrites sobre la varietat, i poden ser tractades al marc de la mecànica lagrangienne. Una reformulació, que es presenta com un canvi de coordenades locals, destapa sobre la formulació hamiltoniana. Aquesta utilitza com a socolada matemàtica els varietats symplectiques, modélisant el espai de fases.

L'espai de les fases no es resumeix en l'espai de les configuracions. La raó n'és que la dinàmica hamiltonienne fa intervenir derivades segons. Igual com en l'estudi dels equacions diferencials ordinàries d'ordre 2, s'afegeix la velocitat a la posició per obtenir equacions ordinàries d'ordre 1. L'operació tanmateix és més delicada aquí i requereix una bona maitrise de les estructures implicades : apel·la crida a la teoria dels fibrés vectorials.

Varietats i física teòrica

La física teòrica contemporània utilitza abundantment les varietats diferencials ; mencionem per exemple :

• L espaia temps de la relativitat general, que és un continu doblegat a 4 dimensions (espace+temps), modélisé per una varietat a quatre dimensions proveïda del que s'anomena una mètrica lorentzienne de firma (-, +, +, +).
• Els teories de camps de cabuda en l'espai-temps, modélisé com anteriorment per una varietat lorentzienne a quatre dimensions (no necessàriament corb), utilitzen per a les seves parts la noció enriquida de espai fibré diferencial. Es tracta encara d'una varietat diferencial, però de dimensió major que la de l'espai-temps, que juga aquí el paper de 'espai de base del fibré. Es considera més precisament un fibré principal, del qual la fibra s'identifica al grup d'estructura que és un grup de Lie precisant la simetria («invariància de cabuda») de la teoria. Un camp de cabuda A hi apareix com una connexió d'Ehresmann, i la forma de Yang-Mills associada F = dA s'interpresta com la curvatura associada a aquesta connexió. (Aquestes eines es defineixen més generalment en la teoria dels fibrés principals.) Han estat així demostrades pertinents per al món realitat :
  • La teoria de cabuda clàssica U(1) , que s'identifica a la teoria electromagnètic de Maxwell. És una teoria abeliana .
  • Després quantificació, dues de les teories de Yang-Mills constitueixen l'actual « model estàndard » de la física de partícules :
    • El model electrofeble de Glashow, Salam i Weinberg és basat sobre el grup U(1) x SU(2) i descriu de manera unificada l'electromagnetisme i la interacció nuclear feble.
    • La cromodinàmica quàntica és basada sobre el grup SU(3) , i descriu la interacció nuclear forta entre els quarks i els gluós.

Un exemple detallat : el cercle

Després de la dreta real, l'exemple més senzill de varietat és el circumferència. Existeix essencialment dues maneres d'introduir-lo : es pensa aquí en un cercle traçat en el pla euclidià R ², del qual els coordonnées usuals són anotades x iy . Per una similitud, un es redueix a un cercle de centre (0,0) i de raig 1. Tal cercle és implícitament definit per l'equació $x^{2}+y^{2}=1$.

Un primer atles

Localment, el cercle s'assembla a una línia, que és a una dimensió. En Altres Paraules, amb una sola coordenada n'hi ha prou per descriure un petit arc de cercle. Considerem per exemple la part superior del cercle, per a la qual la coordenada y és positiva (part groga sobre la Figura 1). Qualsevol punt d'aquesta part pot ser descrit per la coordenada x . Hi ha per tant un homeomorfisme _haut, que enllaça la part groga del cercle al interval obert ]1, 1 [ representant cada punt del cercle amb la seva primera coordenada :

$\chi _{\mathrm {haut} }(x,y)=x.\,$

Tal funció és anomenata una targeta . De manera similar, existeix targetes per a les parts inferior (vermell), esquerra (blava) i dreta (verda) del cercle. Conjunts, recobreixen la totalitat del cercle i s'anomena que les quatre targetes formen un atles d'aquest cercle.

Les dues targetes superior i esquerra es recobreixen. La seva intersecció és situada en el quart de cercle on les coordenades x iy són respectivament negativa i millora. La targeta _haut realitza una bijection que a(x,y) associa x Partint de la zona de recobriment cap a l'interval ]-1, 0 [. La targeta _gauche per la qual (x,y) dóna y associa a aquesta mateixa zona de recobriment l'interval ]0;1[. Així, és possible crear una funció T de l'interval ]-1, 0 [ cap a ]0,1[ :

$T_{\mathrm {haut} \rightarrow \mathrm {gauche} }(x)=\chi _{\mathrm {gauche} }\left(\chi _{\mathrm {haut} }^{-1}(x)\right)=\chi _{\mathrm {gauche} }\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\sqrt {1-x^{2}}}.$

Tal funció és anomenata una aplicació de canvi de targeta otransició . Permet passar del sistema de coordenades x escollit per a la primera targeta al sistema de coordenades y escollit per al segon.

Un altre atles

Les targetes superior, inferior, esquerra i dreta ensenyen que el cercle és una varietat, però no constitueixen l'únic atles factible. Les targetes no necessiten ser projeccions geomètriques, i el nombre de targetes és gairebé arbitrari.

Heus aquí un altre exemple de descripció del cercle. Prenguem per a punt de base el punt de coordenades ( -1, 0) i tracem les diferents dretes sortides d'aquest punt ; la dreta de pendent s talla el cercle en un punt únic. La correspondència entre el pendent de la dreta i les coordenades del punt d'intersecció és en un sentit :

$\chi _{\mathrm {moins} }(x,y)=segon={y \over {1+x}}$ ;

i en l'altre sentit :

$x={{1-s^{2}} \over {1+s^{2}}},\qquad hi={{2s} \over {1+s^{2}}};$.

Aquesta primera targeta descriu tots els punts del cercle fora del punt de base.

Per fabricar la segona targeta s'efectua una simetria prenent com a punt de base (+1, 0) i com a pendent -t amb :

$\chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=et={y \over {1-x}}$.

Aquestes dues targetes subministren a un segon atles el cercle, amb per a aplicació de canvi de targeta

$t={1 \over s}=\varphi (s)$.

Anotar que cada targeta omet un punt únic, sigui (1,0) per as o (+1,0) per at , per tant cap de les targetes única no pot descriure completament el cercle.

Balanç

Es verificaria que els dos atles presentats són compatibles, és a dir que reagrupant les quatre targetes del primer i les dues targetes del segon, s'obté un nou atles, encara més redundant. Cadascun dels dos atles, així com l'atles global, defineixen per tant la mateixa noció de localització per targeta i coordenades locals, és a dir la mateixa estructura de varietat. S'ensenyaria encara, amb l'ajuda del teorema de les funcions implícites que la dada de l'equació $x^{2}+y^{2}=1$ permet també crear sistemes de targetes locals adaptades.

Es veu per tant a través d'aquests exemples la flexibilitat dirigida per la utilització de targetes : es disposa d'una tria infinita d'atles compatibles sobre el cercle, que cal prendre adaptats a la geometria del problema estudiat. Tanmateix, amb l'ajuda d'arguments topològics es pot ensenyar que una targeta sola mai no pot cobrir el conjunt del cercle.

En dimensió superior

El mètode considerat per al primer atles del cercle pot fàcilment ser generalitzat per a esferes de dimensió superior. La n -esfera S ⁿ és una generalització de la idea de cercle (1-sphère) i d'esfera (2-sphère) a dimensions superiors. Una n -esfera S ⁿ pot ser construït considerant 2(n+1) targetes corresponent a les dues projeccions sobre cadascun dels n+1 hyperplans de coordenades, i les aplicacions de canvi de targetes. Una targeta per a tal atles és il·lustrat davant en el cas de la 2-sphère.

En el cas de la 2-sphère, és a dir del globus usual, el segon atles considerat per al cercle admet també una generalització : és un atles constituït dels dos projeccions estereogràfiques des dels pols i sud respectivament.

Definició de les varietats

Definició de les varietats topològiques

Article principal: Varietat topològica

La definició precisa de les varietats requereix l'ús d'un vocabulari relativament especialitzat. Si es vol entrar en els detalls, una varietat topològica de dimensió n , o n -varietat , és un espai topològic separat, localment homéomorphe en un espai vectorial real de dimensió n . Se suposarà a més a més generalment en base enumerable d'oberts. La motivació d'aquestes diverses hipòtesis és discutida a l'article varietat topològica.

La lemniscata en el pla. No és una varietat ja que s'assembla a una creu al veïnatge del punt doble.

En l'exemple del cercle, és possible trobar homeomorfismes locals (les targetes) amb la dreta real. Per contra sobre la lemniscata de la figura adjunta, no existeix targeta local al veïnatge del punt doble. En efecte prenent un veïnatge en forma de disc, si petit sigui, d'aquest punt, el tros de lemniscata és una creu la qual cosa en topologia és diferent d'un tros de dreta.

Les varietats poden ser un sol tros, el que es formalitza per la noció de connexité, o constituïdes de diversos trossos portant el nom de components connexos.

Almenys en el cas connex, és possible no fixar a priori dimensió en la definició d'una varietat. En efecte en aquest cas el teorema d'invariància de la dimensió de Brouwer (1911) rellotge que els homeomorfismes locals definits sobre els oberts de l'espai topològic porten tots en espais vectorials d'una mateixa dimensió. Es troba en aquesta dimensió comuna la dimensió de la varietat.

Estructures diferencials

Article principal: Varietat diferencial

Sobre una varietat topològica, no és possible definir una noció de funció différentiable. Per això, els mètodes fecunds i teoremes importants procedents del càlcul diferencial són inaplicables, llavors mateix que certs - el teorema de les funcions implícites per exemple - prenen tot el seu sentit per una interpretació geomètrica i són, en el fons, enunciats destinats a l'estudi de les varietats.

És per tant necessari introduir algunes restriccions a la noció de varietat si es desitja disposar d'aquest vast camp de mètodes, sobretot del concepte de vector tangent o del de subclasse de mesura cap. Per intentar donar una analogia, una senzilla varietat topològica de dimensió 1 és una corba absolutament qualsevol ; la seva estructura molt flexible no permet diferenciar un circumferència d'una corba fractal, per exemple un floc de Koch. Al contrari la semblança entre una varietat diferencial de dimensió 1 i un cercle és ben més rígida.

Tècnicament, la definició la més usualment trobada consisteix a afegir una informació suplementària a l'estructura topològica de la varietat ; s'introduirà una subclasse del conjunt de tots els homeomorfismes entre un d'obert de la varietat i un d'obert de Rⁿ quant s'anomenarà un atles Els homeomorfismes que pertanyen a la varietat que són anomenats dels targetes . S'exigeix en principi que les targetes cobreixin tota la varietat. Per poder llavors definir funcions p vegada différentiables sobre la varietat, és necessari exigir una condició tècnica suplementària : que les aplicacions de «canvi de targetes» (obtingudes per composició d'una targeta i del recíproc d'una altra) siguin elles mateixes p vegada continûment différentiables. Es parla llavors de varietat de classe C ^p , o de varietat analítica si es requereix la R -analyticité dels canvis de targetes.

Altres estructures addicionals

De mateix que especificar una estructura diferencial particularitza una varietat topològica, i ofereix una nova capsa a eines a l'usuari, es poden enumerar altres definicions particularitzant aquesta vegada el concepte de varietat diferencial.

Així aquells de :

• Varietat riemannienne : una varietat riemannienne és una varietat proveïda d'un mètrica riemannienne, el que permet no només el càlcul dels distances però també el anàlisi funcional sobre les varietats. En física, s'utilitza més correntment tensor mètric en lloc de mètrica riemannienne . Una varietat pseudoriemannienne disposa d'un tensor mètric que no és definit positiu. Aquestes varietats són a la base de la relativitat general.

• Varietat symplectique : una varietat symplectique és una varietat utilitzada per representar els espais de fase en mecànica clàssica. És proveïda d'una forma diferencial que defineix l'operador ganxo de Poisson.

• Grup de Pòsit : un grup de Lie és una varietat disposant d'una estructura de grup compatible amb la seva estructura de varietat.

Construcció de varietats

Una mateixa varietat pot ser construïda de diferents maneres, cadascuna posant en valor un aspecte diferent de la varietat, portant per tant des d'un punt de vista lleugerament diferent. Per aconstruir efectivament una varietat, cal disposar d'un material de base, d'una (o d'un conjunt de) varietats. Entre els modes de construcció més coneguts, citem :

• El producte cartesià, permetent accedir fàcilment a varietats de dimensions superiors ;
• El recollement de varietats, permetent a la pràctica complicar la topologia de les varietats tot preservant la seva dimensió ;
• El quocient de varietats, altre mitjà de complicar la topologia, però amb eventualment una pèrdua de dimensions.

Varietat abstracta construïda per recollement

Article principal: Recollement de varietats

En els exemples proposats fins aquí, una part d'un espai vectorial era proveïda d'un atles conferint-li una estructura de varietat. És possible igualment considerar varietats abstractes, és a dir definides a partir d'una col·lecció d'aplicacions formant un atles abstret . La varietat és llavors construïda per muntatge, els oberts de targetes servint de maons de base per a tals construccions, i l'atles que dóna les instruccions necessàries als enllaços. Del fet que cap espai exterior no és implicat, aquesta construcció porta a una vista intrínseca varietat.

Construcció del cercle i de l'hiperesfera per recollement

Un bon exemple de construcció intrínseca és aquella del circumferència. Donant-se dues dretes disjuntes, una sent descrita per la coordenada real s , i l'altre per la coordenada t , s'ajunten els dos enganxant (identificant) el punt de coordenada t de la segona sobre el punt de coordenada s =¹ _t de la primera (el punt t = 0 de la segona dreta no és identificat amb cap punt de la primera dreta ; igualment per al punt s =0 de la primera dreta). Aquesta construcció subministra a un espai topològic, proveït de targetes, que pot fàcilment ser identificat al cercle submergit al pla usual, proveït del segon atles proposat en l'exemple damunt.

La n -esfera S ⁿ és una generalització de la idea de cercle (1-sphère) i de esfera (2-sphere) a dimensions superiors. Una n -esfera S ⁿ pot ser construït ajuntant dues còpies de R ⁿ . L'aplicació de transició és llavors definida per

$\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}\to \mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}:x\mapsto x/\|x\|^{2}.$

qui generalitza l'exemple del cercle donat anteriorment.

Identificar punts d'una varietat

La construcció és la mateixa en general : la varietat és construïda partint d'un atles abstracte, definit per oberts de R ⁿ i de les aplicacions de transició compatibles entre elles. Un punt de la varietat és una classe d'equivalència (operació d'enganxament) de punts que són associats per les targetes de transició. Aquesta construcció per recollement condueix a una varietat que no és inclosa en un espai de referència, però és definida per ella mateixa. Aquest punt de vista abstracte és purament intrínsec .

L'acció d'ajuntar aquests punts en un sol, correspon a la noció de espai quocient. No obstant això dificultats topològiques sorgeixen i no hi ha raó a priori perquè tal espai quocient sigui una varietat. És el que explica que s'introdueixin variants de la noció de varietats, sobretot orbifolds CW-complexes, que generalitza la noció de varietat, o varietats a singularitats còniques, que generalitzen més específicament la noció de varietat diferencial.

L'operació de passatge al quocient és un dels mètodes fonamentals de construcció de varietats, que supera la pregunta del recollement. Un mètode clàssic d'identificació dels punts és la utilització d'una acció de grup sobre la varietat. Dos punts són identificats si un d'ells és enviat sobre l'altre per un element del grup. Sota certes condicions topològiques, es pot afirmar que l'espai quocient forma una varietat. És exactament el mode de construcció dels tor (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica)es, dels espais projectius reals, o a més complicat dels espais projectius complexos (a partir d'un pla, d'una esfera i d'un espai vectorial acomplexa respectivament). Aquesta construcció coneguda sota el nom de varietat quocient recobreix en part els conceptes de revestiment i de espai homogeni. No és més desenvolupada aquí.

Definició per equacions

Article principal: Varietat implícita

Exemple d'una targeta topogràfica.

Un altre mode de definició clàssica de les varietats és la dada d'una equació, o d'un sistema d'equacions. Un dels exemples més senzills és el del cercle unitat, corba del pla definit per l'equació $x^{2}+y^{2}=1$ per exemple. La mateixa equació en l'espai a tres dimensions defineix una superfície de revolució, és a dir el cilindre. Més generalment, en l'espai $\mathbb {R} ^{n}\,$, donant-se una equació de la forma $F(x_{1},.x_{n})=0$, i sota certes condicions sobre la funció F (vector gradient mai cap), s'obté una varietat de dimensió n -1, o hipersuperfície. Aquest conjunt de valors s'anomena un conjunt de nivell . El geògraf té el costum de manipular-los cartographiant una regió muntanyosa : sobre les targetes, corbes són traçades indicant punts d'igual altitud. Les targetes obtingudes són anomenates targetes topogràfiques.

En àlgebra lineal, es defineix un sous-espace vectorial de codimensió p amb l'ajuda de p formes lineals. Aquestes formes lineals formen una família linealment independent del dual, i el sous-espace és el lloc dels punts d'anul·lació d'aquests p formes. Igualment és és possible de considerar un sistema (no lineal en general) de p equacions an desconegudes La situació local revesteix llavors una analogia forta amb la resolució d'un sistema d'equacions lineals. Sota bones hipòtesis (és a dir, la independència lineal dels vectors gradients), el conjunt de les solucions del sistema forma una varietat de dimensió n-p . L'eina de base per estudiar aquestes preguntes és el teorema de les funcions implícites, amb els corol·laris associats.

Si la condició donada és local, és que la comprovació que un conjunt és una subvarietat és local. De fet, el discurs es generalitza al món de les varietats. Sota bones hipòtesis, un conjunt de funcions sobre una varietat permeten de definir-ne subvarietats. Aquesta tècnica és correntment utilitzada a la pràctica.

Finalment, aquest mode de definició és el mode de definició general per als varietats algebraiques.

Varietat a bord

Un cilindre finit és una varietat amb vora.

La definició de les varietats prohibeix la presència de «vora» com en el cas d'un disc ple per exemple. És possible definir tanmateix una noció de «varietat a bord», acceptant targetes tenint per a àmbit d'oberts de $\mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} _{+}$. La vora de tal varietat a bord serà una varietat de dimensió n -1. Així una esfera plena, o bola, és una 3-variété de vora una 2-variété, l'esfera.

Muntatge per les vores

Dues varietats a vores poden ser ajuntades enganxant-los al llarg d'una vora. Si això és fet correctament, el resultat és també una varietat. De la mateixa manera, dos components de la vora d'una mateixa varietat poden ser enganxats. De nou, el muntatge és definit per un homeomorfisme permetent identificar els punts d'una vora als de l'altre.

Un cilindre finit pot ser construït partint d'un quadrat [0,1] Ã? [0, 1] i cosint junts dos costats oposats. Els dos cercles que formen la vora de la figura obtinguda poden llavors ser plegats l'un sobre l'altre per formar un tor (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) o una ampolla de Klein.

L'operació de topologia divertida més cèlebre és certament la que consisteix a pegar dues vores d'un quadrat, però fent caure l'orientació ; no s'obté més llavors un cilindre sinó un anell de Möbius, també anomenat banda de Möbius o cinta de Möbius, que és l'exemple estàndard per il·lustrar la noció de varietat no orientable. Es tracta d'una varietat a bord de la qual la vora és un cercle. Pegant un disc al llarg d'aquest cercle, s'obté un pla projectiu real. Si la cinta de Möbius pot ser visualitzada en R ³, el recollement no pot ser efectuat en l'espai tridimensional : un quart grau de llibertat és indispensable.

Producte cartesià

Igual com el producte cartesià d'espais vectorials és un espai vectorial, el producte cartesià de varietats és també una varietat. La seva topologia és la topologia produeix i un producte cartesià de targetes és per convenció una targeta per al producte. Així, un atles del que s'anomena la varietat produït pot ser construït amb l'ajuda d'un atles de cada factors. Si aquests atles defineixen una estructura diferencial sobre els factors, l'atles corresponent defineix una estructura diferencial sobre la varietat producte. Això és veritat per a tota altra estructura definida amb l'ajuda dels factors. La dimensió de la varietat producte és la suma de les dimensions dels seus factors. Els productes cartesians poden ser utilitzats per construir dels tor (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica) (figura geomètrica)es i dels cilindres acabats, per exemple : S ¹ Ã?  S ¹ iS ¹ Ã? [0, 1], respectivament.

Totes les varietats no poden ser escrites amb l'ajuda d'un producte, però algunes es poden escriure com una reunió disjunta d'un conjunt de subvarietats que té localment l'estructura d'un producte ; porten el nom de feuilletages. Per exemple, l'hiperesfera de dimensió tres admet un feuilletage destacable en cercles (disjunts), conegut sota el nom de fibration d'Hopf, del nom del topòleg Heinz Hopf.

Aprofundiments

Estructures connexes

Per posar en obra la geometria sobre varietats, és sovint requerit d'afegir estructures addicionals a aquests espais, tals que aquells vist més alt per a les varietats diferencials. Existeix nombroses altres possibilitats, depenent del tipus de geometria que s'intenta introduir :

• Varietat analítica : la definició és anàloga a la de varietat diferencial, però s'imposa que les aplicacions de canvi de targetes siguin difféomorphismes analítics. Tota varietat différentiable admet una estructura de varietat analítica.

• Varietat acomplexa : una varietat holomorphe és una varietat construïda sobre C ⁿ amb l'ajuda de funcions de transicions holomorphes sobre recobriments de targetes. Aquestes varietats són els objectes de base per a l'estudi de la geometria complexa. Una varietat a una dimensió complexa és anomenata superfície de Riemann. (Anotar que una varietat acomplexa an dimensions té 2n dimensions en tant que varietat diferencial real .)

• Varietat de Banach o varietat banachique i Varietat de Fréchet : per permetre l'extensió a les dimensions infinites, es poden considerar varietats de Banach que sigui localment homéomorphes a dels espais de Banach. Igualment, les varietats de Fréchet són localment homéomorphes a dels espais de Fréchet.

• Varietat a singularitats còniques : inclouen les varietats diferencials, les varietats diferencials a bord, els cons, els poliedre, tant en tant que superfícies com en tant que sòlids.

• Orbifold : Un orbifold és la generalització de les varietats per a certs tipus de singularitat en la topologia.

• Varietat algebraica i esquema : una varietat algebraica és construïda per muntatge de varietats algebraiques afins, que són conjunts de zéros de polinomis construïts sobre dels cos. La domesticació dels recollements a efectuar ja no és basada en la regularitat dels canvis de targetes, però descrivint les quals de les funcions definides localment sobre la varietat mereixen ser considerades com regulars ; la noció de feix s'és substituït llavors a la d'atles com a eina tècnica per a la definició. Els esquemes són igualment construïts a partir d'esquemes refines, que són ells mateixos una generalització de les varietats algebraiques afins.

• CW-complexe : un CW-complexe és un espai topològic format d'objectes de diferents dimensions per recollements successius. Per aquesta raó, no és generalment una varietat. Tanmateix, és d'un interès central en topologia algebraica : permet de codificar la topologia i de donar-ne un enfocament essencialment combinatori. Tota varietat topològica admet una descomposició en CW-complexe.

Classificació de les varietats

Un problema central en matemàtiques concerneix la possibilitat d'identificar dos objectes ensemblistement diferents però del qual les propietats són semblants. En aquest sentit, dues varietats són identificades quan existeix una funció bijectiva entre elles que sigui compatible amb la topologia. Tal bijection és anomenata homeomorfisme. Per exemple, el cercle considerat com subvarietat del pla, o el cercle abstracte construït per recollement, si són ensemblistement diferents, són homéomorphes. Des del punt de vista de la topologia, l'escaira d'una pilota de foot o d'una pilota de rugby és la mateixa. Les diferències entre aquests dos objectes són per natura mètrica.

El problema general es fa : quan es poden identificar dues varietats topològiques a homeomorfisme prop ? Dues varietats diferencials a difféomorphisme prop ?

Els primers resultats en aquest sentit, molt parcials, concerneixen la classificació de les superfícies, avui ben coneguda. Aquesta classificació reposa sobre la característica d'Euler, i el gènere. Aquesta característica es generalitza fàcilment a les dimensions superiors, gràcies a la noció de cares de dimensió superior. El que importa és llavors la configuració de les triangulacions de les varietats, i la característica d'Euler no codifica més que una part de les informacions sobre aquestes triangulacions. Per tenir accés a les informacions restants, cal abandonar la idea d'invariants numèrics, i estudiar invariants algebraics associats a les triangulacions : és el naixement dels mètodes homologiques i cohomologiques, seguint les idees de Poincaré sobre el homologia singular. Dels mètodes homotopiques, del qual el nivell elemental és l'estudi de la senzilla connexité, aporten també respostes.

Aquests mètodes s'adapten, d'alguna manera, considerant altres cohomologies, als tipus de varietat més rígids : per exemple, la cohomologia de De Rham per a l'estudi de les varietats diferencials. Els invariants obtinguts en general no formen sistemes complets d'invariants : és a dir que dues varietats es poden topològicament distingir, mentre que són cohomologiquement semblants, en el sentit on els seus grups de cohomologia són idèntics.

Nus de trèvol en l'espai de dimensió tres.

Un altre problema interessant de classificació prové de les deformacions de les subvarietats submergides : un ja no s'autoritza llavors qualsevol deformació, però només certes que respecten la topologia de l'espai subjacent, els homotopies, o bé els isotopies, seguint el problema considerat. De nou, mètodes cohomologiques i homotopiques són útils. S'obtenen classificacions més fines, on el nus trèvol, i el cercle, confoses homéomorphiquement, són aquesta vegada bé diferents. La teoria dels nusos sobretot s'és interessat al plongement d'un cercle en l'espai a tres dimensions, o en l'esfera tridimensional.

Sempre més endavant, la teoria dels nusos ha permès donar la construcció efectiva de les varietats de dimensió 3. En algunes paraules, tota varietat compacta de dimensió 3 s'obté efectuant un nombre finit d'operacions sobre l'esfera tridimensional al veïnatge d'un nombre finit de nusos disjunts. Per a cada nus, es tracta de retirar-ne un veïnatge, un tor ple, i de pegar-lo diferentment. La topologia de la varietat no depèn més que de la classe d'homotopie de les dades de recollement, que són homeomorfismes del tor. L'argumentació és detallada a l'article Varietat diferencial de dimensió 3, o l'obra de Dale Rolfsen. La utilització d'un únic nus vulgar dóna a llum un conjunt de varietats compactes de dimensió 3, anomenates espais lenticulars.

Discussions al voltant de les varietats

En el moment d'estudis més aprofundits sobre la topologia de les varietats són trobades discussions recurrents portant sobre la dimensió varietats o la rigidesa de les estructures :

• Les petites dimensions ofereixen pocs graus de llibertat. De fet, no és rar més que de les estructures tanmateix diferents en grans dimensions coincident en dimensions 1, 2, 3, eventualment 4, 5. Tanmateix, l'excés de restriccions pot tornar l'enfocament difícil. En aquest sentit, citem el problema plantejat per Poincaré en relació amb la caracterització topològica d'una esfera de dimensió n . La prova en dimensió $n\geq 5$ ha valgut la medalla Fields a Stephen Smale el 1966, la prova en dimensió 4 ha valgut la medalla Fields a Michael Freedman el 1986, la prova en dimensió 3 és encara fresca.
• La segona temàtica concerneix l'agilitat o la rigidesa de les estructures addicionals sobre les varietats.

Veure també

Articles connexos

Nocions connexes

• Corba (Varietat de dimensió 1)
• Superfície (Varietat de dimensió 2)
• Varietat de dimensió 3
• Topologia algebraica
• Geometria diferencial
  • Geometria riemanniana
  • Geometria symplectique
• Geometria
• Orientació d'una varietat
• Relativitat general

Bibliografia

• Plantilla:Bourguignon1

Introduction no tècnic a l'assumpte. L'autor, actualment director de l'IHES, ha ensenyat molt de temps la geometria diferencial a l'escola politècnica.

Aspectes tècnics

• Plantilla:DoubrovineFomenkoNovikov (Primera part : geometria de les superfícies, dels grups de transformacions i dels camps). Una introducció molt pedagògica a la geometria, amb aplicacions a la física, escrita per especialistes russos. Sent l'enfocament més aviat intuïtiu, aquesta obra és accessible a partir del primer cicle universitari per a un bon estudiant motivat.
• Plantilla:BergerGostiaux1 - Obra procedent d'un curs donat al Magisteri de matemàtiques.
• Plantilla:Spivak1 - Tractat de referència en cinc volums.
• Plantilla:Rolfsen
• Plantilla:Milnor1
• Plantilla:Lafontaine1 - Obra elemental per als estudiants de master.

Obres de matemàtiques per a físics teòrics

• Theodore Frenkel ; The Geometry of Physics - Any introducció Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-38753-1.
• Mikio Nakahara ; Geometry, Topology anys Physics , Institute of Physics Publishing (1990), ISBN 0-85274-095-6.
• Charles Nash & Siddharta Sen ; Topology & Geometry fur Physicists , Academic Press (1983), ISBN 0-12-514080-0.
• Yvonne Choquet-Bruhat & Cécile deWitt-Morette ; Analysis, Col·lectors & Physics - Part I: Basics , North-Holland/Elsevier (2 edició revisada - 1982), ISBN 0-444-86017-7.

Aspectes històrics

• Luciano Boi ; El problema matemàtic de l'espai - Una cerca de l'intel·ligible , Springer-Verlag, Berlín (1995), ISBN 3-540-58922-8. Una història filosòfica del concepte matemàtic d'espai, de la geometria euclidiana al desenvolupament de les geometries modernes no euclidianes. Nivell primer cicle universitari mínim.
• Marvin J. Greenberg ; Euclidean & pseudo-Euclidean Geometries - Development & History , W H. Freeman & Co., New-York (3 édition-1996), ISBN 0-7167-2446-4. Un llibre de matemàtiques que descriu la història i el desenvolupament de les geometries no euclidianes, essencialment a dues dimensions (geometries de Gauss, Bolai i Lobachevsky). Accessible al «honrat home» culte.
• Màxim Jammer ; Conceptes of Space. The History of Theories of Space in Physics , Dover Publicacions, New York(3 édition-1993), ISBN 0-486-29998-8. Una història erudita del concepte d'espai, des de l'Antiguitat fins als nostres dies. Nivell primer cicle universitari.
• (anglès) Història de la Topologia

Catégorie:Topologie diferencial Catégorie:Géométrie diferencial ca:Varietat (matemàtiques)