Capacitat tèrmica

Capacitat tèrmica

Unitats	joule per kelvin difference (en) i kilogram square metre per square second kelvin (en)
Fórmula	$C={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} T}}$

La capacitat tèrmica o capacitat calorífica (normalment denotada per una C sovint amb subíndexs) és la magnitud física mesurable que caracteritza la quantitat de calor necessària per canviar la temperatura d'una substància una quantitat determinada. Les unitats de la capacitat tèrmica en el Sistema Internacional d'Unitats és el joule per kelvin (J·K^-1).

Les magnituds derivades que especifiquen la capacitat tèrmica com una propietat intensiva (és a dir, independent de la mida de la mostra) són la capacitat tèrmica molar –capacitat tèrmica per mol d'una substància pura– i la capacitat tèrmica específica (també anomenada simplement calor específica) –capacitat tèrmica per unitat de massa del material. També s'usa esporàdicament, en contexts d'enginyeria, la capacitat tèrmica volumètrica.

La temperatura reflecteix l'energia cinètica mitjana de les partícules en matèria mentre que la calor consisteix en la transferència d'energia tèrmica de regions d'alta temperatura a regions de baixa temperatura. L'energia tèrmica transmesa per calor s'emmagatzema en forma d'energia cinètica en àtoms que es mouen i molècules que roten. Addicionalment, l'energia tèrmica també es pot emmagatzemar en forma d'energia potencial associada amb modes de vibració d'alta energia. La translació, rotació i la combinació dels dos tipus d'energia en vibració (cinètica i potencial) dels àtoms representen els graus de llibertat del moviment que contribueixen a la capacitat tèrmica de la matèria atòmica. En una escala microscòpica, cada partícula del sistema absorbeix energia tèrmica entre els pocs graus de llibertat que té disponibles i, en temperatures prou elevades, aquest procés contribueix a la capacitat tèrmica específica que s'aproxima a un valor per mol de partícules establert per la llei de Dulong-Petit. El límit, que està situat a uns 25 joules per kelvin per cada mol d'àtoms, és aconseguit per moltes substàncies sòlides a temperatura ambient (vegeu la taula a sota).

A causa de raons mecanicoquàntiques, a qualsevol temperatura donada alguns d'aquests graus de llibertat poden no estar disponibles –o estar disponibles tan sols parcialment– per a emmagatzemar energia. En aquests casos, la capacitat tèrmica específica serà una fracció del màxim. Mentre la temperatura s'aproxima al zero absolut, la capacitat tèrmica específica del sistema també s'aproxima a zero a causa de la pèrdua de graus de llibertat disponibles. Es pot usar la teoria quàntica per predir quantitativament les capacitats tèrmiques específiques en sistemes simples.

Unitats

Vegeu també: Caloria i BTU

Tal com s'ha mencionat anteriorment, les unitats de la capacitat tèrmica són el joule per kelvin (J·K^-1). En el cas de la capacitat tèrmica específica són J·kg^-1·K^-1, i en el cas de la capacitat tèrmica molar són J·mol^-1·K^-1. Tradicionalment, però, s'han utilitzat d'altres unitats que actualment ja no s'usen perquè no formen part del Sistema Internacional d'Unitats. La més important d'elles és la quilogram-caloria (Cal) –de vegades simplement anomenada "caloria"–, definida originalment com l'energia necessària per elevar la temperatura d'un quilogram d'aigua un grau Celsius (generalment de 15 a 16 °C). La capacitat tèrmica específica de l'aigua en aquesta escala seria, llavors, exactament d'1 KCal·kg^-1·K^-1. Tanmateix, a causa de la dependència de la temperatura de la calor específica, la caloria es va definir de moltes més maneres. Una variant de la quilogram-caloria és la gram-caloria (cal), que es defineix de manera que la calor específica de l'aigua és 1 cal·g^-1·K^-1.

En països com els Estats Units tradicionalment també s'han fet servir unitats com la lliura-caloria (lb-cal), definida com la quantitat de calor necessària per elevar la temperatura d'una lliura d'aigua un grau Celsius; en aquesta escala, la calor específica de l'aigua és d'1 lb-cal·lb^-1·K^-1. Una unitat una mica més corrent encara avui en dia és la BTU (British Thermal Unit), que es defineix de tal manera que la calor específica de l'aigua és d'1 BTU·lb^-1·°F^-1.

Mesura

Vegeu també: Relació de Mayer

La capacitat tèrmica de la majoria dels sistemes no és constant, sinó que depèn de les variables d'estat del sistema termodinàmic que s'està estudiant. En particular, depèn de la pròpia temperatura així com de la pressió i del volum del sistema, i de les maneres en les quals s'ha permès canviar les pressions i els volums mentre el sistema ha passat d'una temperatura a una altra. La raó que ho explica és que el treball de la pressió i el volum fet al sistema incrementa la seva temperatura mitjançant un mecanisme que no és l'escalfament, mentre que el treball de pressió i volum fet pel sistema absorbeix calor sense incrementar la temperatura del sistema.

Es poden dur a terme diferents mesures de la capacitat tèrmica. Normalment es fan a pressió o volum constant. Els valors mesurats s'indiquen, doncs, amb un subíndex p o v, respectivament, per definir com han estat calculats. Els gasos i líquids normalment es mesuren a volum constant. Les mesures a pressió constant donen uns valors més elevats que les fetes a volum constant perquè els primers també inclouen l'energia calorífica usada per fer el treball d'expansió de la substància contra la pressió constant mentre augmenta la seva temperatura. Aquesta diferència és particularment notable en gasos: en aquestes substàncies els valors a pressió constant solen ser d'un 30% a un 66,7% més elevats que els valors a volum constant.

Les calors específiques de substàncies formades per molècules (és a dir, que no són gasos monoatòmics) no són constants, sinó que depenen de la temperatura. És per això que quan es dona el valor de calor específica d'una substància, a part de dir com ha estat calculat (si a pressió o volum constant) amb el corresponent subíndex, també cal indicar la temperatura a la qual es dugué a terme la mesura.

D'altra banda, per a líquids i gasos és important saber la pressió a la qual es refereix un valor de capacitat tèrmica específica. La majoria de dades que es poden trobar en llistes es refereixen a la pressió estàndard. Tanmateix, com que hi ha moltes definicions de les condicions estàndard de pressió i temperatura és convenient indicar-ho. La IUPAC va canviar la seva recomanació de pressió (anteriorment d'1 atm) a 100 kPa (≈750,062 torr). Això es feu perquè, a part de ser un nombre rodó, és la pressió equivalent a la pressió mitjana a una altitud de 112 metres, la qual s'acosta més a la pressió mitjana de l'altitud mediana on habita la població humana (194 metres).

Càlcul a partir dels principis de la física

El mètode de la integral de camí de Monte Carlo és una aproximació numèrica per a determinar els valors de la capacitat calorífica. Es basa en els principis dinàmics quàntics. Tanmateix, es poden fer bones aproximacions per gasos fent servir alguns mètodes detallats a continuació. Per a sòlids compostos per àtoms relativament pesats (amb nombre atòmic més gran que el del ferro), a temperatures no criogèniques, la capacitat tèrmica a temperatura ambient s'acosta a 3R = 24,94 joules per kelvin per mol d'àtoms.

Relacions termodinàmiques i definició de la capacitat tèrmica

L'energia interna d'un sistema tancat canvia bé perquè s'afegeix calor al sistema o bé perquè el sistema du a terme un treball. Escrivint-ho matemàticament:

${\ \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W}$

Per treball com a resultat d'un increment del sistema del volum es té:

${\ \mathrm {d} U=\delta Q-P\mathrm {d} V}$

Si la calor s'afegeix a volum constant, llavors se simplifica el segon terme de la relació i s'obté:

$\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial Q}{\partial T}}\right)_{V}=C_{V}$

Això defineix la capacitat tèrmica a volum constant, és a dir, C_V. Una altra quantitat útil és la capacitat tèrmica a pressió constant, és a dir, C_P. Si l'entalpia del sistema és:

${\ H=U+PV}$

L'equació anterior de l'energia interna esdevé:

${\ \mathrm {d} H=\delta Q+V\mathrm {d} P}$

i, per tant, a pressió constant es té:

$\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{P}=\left({\frac {\partial Q}{\partial T}}\right)_{P}=C_{P}$

Relació entre capacitats tèrmiques

La mesura de la capacitat tèrmica a volum constant és bastant difícil quan es tracta de substàncies en estat líquid o sòlid; és a dir, petits canvis de temperatura necessiten grans pressions per mantenir el líquid o sòlid a volum constant, la qual cosa implica que el contenidor ha de ser molt rígid i fort (vegeu coeficient d'expansió tèrmica i compressibilitat). En comptes d'això, és més fàcil mesurar la capacitat calorífica a pressió constant (permetent el material expandir-se o contraure's lliurement) i trobar a posteriori la capacitat calorífica a volum constant usant relacions matemàtiques derivades de les lleis de la termodinàmica. Si es comença per la relació termodinàmica fonamental es pot demostrar que:

$C_{p}-C_{V}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V,N}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p,N}$

On les derivades parcials es prenen a volum constant i nombre de partícules constant, i a pressió constant i nombre de partícules constant, respectivament. També es pot escriure de la següent manera:

$C_{p}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}\,$

On:

$\alpha$ és el coeficient d'expansió tèrmica

$\beta _{T}$ és la compressibilitat isoterma

El coeficient de dilatació adiabàtica (o índex adiabàtic, γ) és la proporció de la capacitat tèrmica a pressió constant respecte la capacitat tèrmica a volum constant. També es coneix com el factor d'expansió isentròpica.

Gas ideal

Per un gas ideal, avaluant les derivades parcials anteriors d'acord amb l'equació d'estat, i on R és la constant de gasos per un gas ideal:

$pV=RT\;$

$C_{p}-C_{V}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}$

$C_{p}-C_{V}=-T\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}^{2}$

$p={\frac {RT}{V}}$ →$\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}={\frac {-RT}{V^{2}}}$= ${\frac {-p}{V}}$

$V={\frac {RT}{p}}$→$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}^{2}={\frac {R^{2}}{p^{2}}}$

substitutint

$-T\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}^{2}$= $-T\left({\frac {-p}{V}}\right)\left({\frac {R^{2}}{p^{2}}}\right)=R$

Aquesta equació es redueix simplement a la relació de Mayer:

$C_{p}-C_{V}=R$

Capacitat tèrmica específica

La capacitat tèrmica específica d'un material és:

$c={\partial C \over \partial m}$

En el qual en l'absència de transicions de fase equival a:

$c=E_{m}={C \over m}={C \over {\rho V}}$

On:

$C$ és la capacitat tèrmica d'un cos fet del material en qüestió

$m$ és la massa del cos

$V$ és el volum del cos

$\rho ={\frac {m}{V}}$ és la densitat del material

Per gasos, i també per altres materials sota pressions elevades, existeix la necessitat de distingir entre diferents condicions de contorn pels processos sota consideració (ja que els valors difereixen de manera significativa entre diferents condicions). Els processos típics pels quals es pot definir una capacitat tèrmica inclouen processos isobàrics (pressió constant, $dp=0$) o isocor (volum constant, $dV=0$). Les corresponents capacitats tèrmiques específiques es poden expressar com:

$c_{p}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{p}$

$c_{V}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{V}$

Dels resultats de la secció prèvia, dividint per la massa, s'obté la relació:

$c_{p}-c_{V}={\frac {\alpha ^{2}T}{\rho \beta _{T}}}$

Un paràmetre relacionat amb $c$ és $CV^{-1}\,$, la capacitat tèrmica volumètrica. En la pràctica en contextos d'enginyeria, $c_{V}\,$ per a sòlids i líquids sovint significa capacitat tèrmica volumètrica, i no pas a volum constant. En tals casos, la capacitat tèrmica específica se sol escriure específicament amb el subíndex $m$, com $c_{m}\,$. Evidentment, a partir de les relacions superiors, per sòlids es pot escriure:

$c_{m}={\frac {C}{m}}={\frac {c_{volumetric}}{\rho }}$

Per compostos químics homogenis purs amb una massa molecular o molar establerta o quantitat molar establerta, la capacitat tèrmica –com a propietat intensiva– es pot expressar en funció dels mols i no pas en funció de la massa fent servir les següents equacions (anàlogues a les que són en funció de la massa):

$C_{p,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{p}$ = capacitat tèrmica molar a pressió constant

$C_{V,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{V}$ = capacitat tèrmica molar a volum constant

On n és el nombre de mols en el cos o sistema termodinàmic.

Capacitat tèrmica politròpica

La capacitat tèrmica politròpica es calcula per un procés si totes les propietats termodinàmiques (pressió, volum, temperatura) canvien.

$C_{i,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)$ = capacitat tèrmica molar en un procés politròpic

Capacitat tèrmica adimensional

La capacitat tèrmica adimensional d'un material és

$C^{*}={C \over nR}={C \over {Nk}}$

On:

C és la capacitat tèrmica d'un cos fet del material en qüestiói

n és la quantitat de substància en el cos

R és la constant de gasos

N és el nombre de molècules en el cos

k és la constant de Boltzmann

En un gas ideal, la capacitat tèrmica adimensional $C^{*}\,$ s'expressa com ${\hat {c}}$, i està relacionada directament amb la meitat dels nombres de graus de llibertat per partícula. Això és cert per graus de llibertat quadràtics (conseqüència del teorema d'equipartició).

De manera més general, la capacitat tèrmica adimensional relaciona l'increment logarítmic de temperatura amb l'increment en l'entropia adimensional per partícula $S^{*}=S/Nk$, mesurada en nats.

$C^{*}={dS^{*} \over d\ln T}$

Alternativament, fent servir logaritmes de base 2, C^* relaciona l'increment logarítmic en base 2 de la temperatura amb l'increment de l'entropia adimensional mesurada en bits.

Capacitat tèrmica al zero absolut

De la definició d'entropia:

$T\,dS=\delta Q\,$

L'entropia absoluta es pot calcular integrant a partir de zero kèlvins fins a una temperatura final T_f:

$S(T_{f})=\int _{T=0}^{T_{f}}{\frac {\delta Q}{T}}=\int _{0}^{T_{f}}{\frac {\delta Q}{dT}}{\frac {dT}{T}}=\int _{0}^{T_{f}}C(T)\,{\frac {dT}{T}}$

La capacitat tèrmica ha de ser zero en el zero absolut per tal que la integral de sobra no doni una entropia absoluta infinita, la qual violaria la tercera llei de la termodinàmica. Un dels punts forts del model de Debye és que, a diferència del model precedent d'Einstein, prediu la forma matemàtica correcta de la capacitat tèrmica quan la temperatura s'aproxima al zero absolut.

Capacitat tèrmica negativa

La majoria de sistemes físics presenten una capacitat tèrmica positiva. De totes maneres, i encara que inicialment pot semblar una paradoxa, hi ha alguns sistemes en els quals la capacitat tèrmica és negativa. Aquests són, per exemple, estrelles o alguns clústers a nanoescala de poques desenes d'àtoms propers a una transició de fase. Una capacitat tèrmica negativa pot resultar en una temperatura negativa.

Segons el teorema de virial, per un cos autogravitatori com una estrella o un cúmul de gas interestel·lar, l'energia potencial mitjana U_Pot i l'energia cinètica mitjana U_Cin estan relacionades per:

$U_{\text{Pot}}=-2U_{\text{Cin}}\,$

L'energia total U (= U_Pot + U_Cin) obeeix llavors:

$U=-U_{\text{Cin}}\,$

Si el sistema perd energia –per exemple, radiant energia cap a l'espai– l'energia cinètica mitjana i, amb ella, la temperatura, incrementa. Llavors es pot dir que el sistema té una capacitat tèrmica negativa.

Una versió més extrema d'aquest fet té lloc en els forats negres. Segons la termodinàmica dels forats negres, com més massa i energia absorbeix un forat negre, més fred esdevé. En contrast, si és un emissor net d'energia, segons la radiació de Hawking, esdevindrà cada vegada més calent fins a evaporar-se.

Taula de capacitats tèrmiques específiques i molars

Vegeu també: Llei de Dulong-Petit

La capacitat tèrmica específica (c) o calor específica és la quantitat d'energia en forma de calor que ha de rebre una substància per elevar un kelvin (l'equivalent a un grau Celsius) la temperatura d'una certa massa. Se sol mesurar en les unitats del SI; J·kg^-1·K^-1 (joule per quilogram kelvin). D'altra banda, la capacitat tèrmica molar és similar a la capacitat tèrmica específica però en comptes de referir-se a una certa massa ces refereix a una certa quantitat de substància; es mesura, doncs, en J·mol^-1·K^-1 (joule per mol kelvin).

A la taula a continuació es mostren les capacitat calorífica específica i molars de diverses substàncies. També s'hi afegeix la capacitat tèrmica volumètrica, usada en alguns àmbits de l'enginyeria.

Taula de capacitats tèrmiques específiques a 25 °C (298 K) excepte que s'especifiqui el contrari
Els mínims i màxims notables es ressalten en marró

Substància	Fase	Capacitat tèrmica específica cp o cm J·g−1·K−1	Capacitat tèrmica molar a pressió constant cp,m J·mol−1·K−1	Capacitat tèrmica molar a volum constant cv,m J·mol−1·K−1	Capacitat tèrmica volumètrica cv J·cm−3·K−1	Capacitat tèrmica molar a volum constant respecte R
Aigua a 100 °C (vapor)	gas	2,080	37,47	28,03		1,12 R
Aigua a 25 °C	líquid	4,1813	75,327	74,53	4,1796	3,02 R
Aigua a 100 °C	líquid	4,1813	75,327	74,53	4,2160	3,02 R
Aigua a −10 °C (gel)	sòlid	2,11	38,09		1,938	1,53 R
Aire (nivell del mar, sec, 0 °C (273,15 K))	gas	1,0035	29,07	20,7643	0,001297	~ 1,25 R
Aire (condicions normals)	gas	1,012	29,19	20,85	0,00121	~ 1,25 R
Alumini	sòlid	0,897	24,2		2,422	2,91 R
Amoníac	líquid	4,700	80,08		3,263	3,21 R
Antimoni	sòlid	0,207	25,2		1,386	3,03 R
Argent	sòlid	0,233	24,9		2,44	2,99 R
Argó	gas	0,5203	20,7862	12,4717		1,50 R
Arsènic	sòlid	0,328	24,6		1,878	2,96 R
Beril·li	sòlid	1,82	16,4		3,367	1,97 R
Bismut	sòlid	0,123	25,7		1,20	3,09 R
Cadmi	sòlid	0,231	26,02			3,13 R
Crom	sòlid	0,449	23,35			2,81 R
Coure	sòlid	0,385	24,47		3,45	2,94 R
Diamant	sòlid	0,5091	6,115		1,782	0,74 R
Diòxid de carboni	gas	0,839*	36,94	28,46		1,14 R
Diòxid de silici (fos)	sòlid	0,703	42,2		1,547	1,69 R
Estany	sòlid	0,227	27,112			3,26 R
Etanol	líquid	2,44	112		1,925	1,50 R
Gasolina (octà)	líquid	2,22	228		1,64	1,05 R
Granit	sòlid	0,790			2,17
Grafit	sòlid	0,710	8,53		1,534	1,03 R
Heli	gas	5,1932	20,7862	12,4717		1,50 R
Hidrogen	gas	14,30	28,82			1,23 R
Ferro	sòlid	0,450	25,1		3,537	3,02 R
Liti	sòlid	3,58	24,8		1,912	2,98 R
Liti a 181 °C	líquid	4,379	30,33		2,242	3,65 R
Magnesi	sòlid	1,02	24,9		1,773	2,99 R
Mercuri	líquid	0,1395	27,98		1,888	3,36 R
Metà a 2 °C	gas	2,191	35,69			0,66 R
Metanol (298 K)	líquid	2,14	68,62			1,38 R
Nitrogen	gas	1,040	29,12	20,8		1,25 R
Neó	gas	1,0301	20,7862	12,4717		1,50 R
Or	sòlid	0,129	25,42		2,492	3,05 R
Oxigen	gas	0,918	29,38	21,0		1,26 R
Parafina (cera) C25H52	sòlid	2,5 (mitjana)	900		2,325	1,41 R
Polietilè	sòlid	2,3027
Polietilè	líquid	2,9308
Plom	sòlid	0,129	26,4		1,44	3,18 R
Sodi	sòlid	1,230	28,23			3,39 R
Sulfur d'hidrogen H₂S	gas	1,015*	34,60			1,05 R
Teixit biològic animal (inclou teixit humà)	barrejat	3,5			3,7*
Titani	sòlid	0,523	26,060			3,13 R
Tungstè	sòlid	0,134	24,8		2,58	2,98 R
Urani	sòlid	0,116	27,7		2,216	3,33 R
Vidre	sòlid	0,84
Zinc	sòlid	0,387	25,2		2,76	3,03 R
Substància	Fase	cp J/(g·K)	cp,m J/(mol·K)	cv,m J/(mol·K)	J/(cm³·K)

*Data derivada per càlcul. Aquesta és per teixits rics en aigua com el cervell. La mitjana corporal dels mamífers és aproximadament 2,9 J/(cm³·K).

Capacitats tèrmiques específiques de materials de construcció

Les següents capacitats tèrmiques específiques són de materials de construcció.

Capacitat tèrmica específica de materials de construcció

Substància	Fase	cp J/(g·K)
Asfalt	sòlid	0,920
Formigó	sòlid	0,880
Fusta	sòlid	1,7 (1,2 a 2,3)
Granit	sòlid	0,790
Guix	sòlid	1,090
Hexafluorur de sofre	gas	0,664
Maó	sòlid	0,840
Marbre, mica	sòlid	0,880
Sòl	sòlid	0,800
Sorra	sòlid	0,835
Vidre, sílice	sòlid	0,840
Vidre, "crown"	sòlid	0,670
Vidre, sílex	sòlid	0,503
Vidre, pírex	sòlid	0,753
Substància	Fase	cp J/(g·K)

Vegeu també

• Coeficient de dilatació adiabàtica
• Emmagatzematge d'energia tèrmica
• Relació de Mayer

Enllaços externs

• Calculadora de la capacitat tèrmica específica de l'aire Arxivat 2012-04-26 a Wayback Machine. (anglès)