Vòrtex de Görtler

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

Els vòrtexs de Görtler són vòrtex longitudinals contrarotatius en parelles que apareixen en una capa límit que es desenvolupa sobre una paret cóncava. Van ser explicats per Henry Görtler com a resultat de la inestabilitat relacionada amb l'acceleració centrífuga.[1][2]

Aquests vòrtex interactuen amb les ones de Tollmian-Schlichting (ones TS), donant lloc a una transició laminar-turbulent més ràpida que la relacionada amb la inestabilitat natural prevista per l'equació d'Orr-Sommerfeld.[3][4]

S'ha trobat experimentalment que la seva aparença depèn en gran manera de la turbulència aigües amunt.[4]

Nombre de Görtler[modifica]

Esquema de la inestabilitat de Görtle

Comencem per les equacions de Navier-Stokes per a un flux incompressible de capa límit d'una placa plana, definida per les equacions de Blasius en un sistema relacionat amb la paret curvilínia (vegeu la imatge) i definida per les variables ( , , ). Definim una dimensió característica per

Aquesta longitud és el gruix de desplaçament de la capa límit a un coeficient proper.[5]

El nombre de Reynolds val

on

El radi de curvatura adimensional se suposa que és petit davant de la unitat.

Definim el nombre de Görtler com:

Per tant, aquest nombre mesura els efectes de la curvatura respecte als efectes viscosos.

Pertorbació de la solució estacionària[modifica]

Com en qualsevol problema d'estabilitat, superposem sobre la solució bàsica una pertorbació on s'estudia la seva evolució espaciotemporal:

  • la velocitat reduïda per té per components : on li superposem una pertorbació tal que ,
  • de la mateixa manera, la pressió reduïda per està pertorbada pel terme tal que .

En conservar només els termes del primer ordre, es pot escriure el sistema:[4][6]

amb les condicions de contorn

per a i

L'escriptura mostra el nombre de Görtler a conseqüència de l'adimensionament. S'ha de tenir en compte que, en les equacions de conservació del moment, l'evolució dels components en i s'uneix a la fluctuació de pressió, però no en , que és coherent amb l'estructura de vòrtex.

Aquest sistema d'equacions és de caràcter parabòlic i, per tant, es pot resoldre mitjançant un pas a l'espai (càlcul avançant pla a pla).

Resultats[modifica]

S'utilitzen dos mètodes per resoldre el problema:

  • en el primer estudiem l'estabilitat del sistema utilitzant una pertorbació independent de :
on el nombre d'ona de la pertorbació (un paràmetre del problema) està definit per
és la solució del problema: correspon a una solució creixent en , per tant a una situació d'inestabilitat.
El mètode consisteix llavors a estudiar les solucions del problema dels valors propis en l'equació d'Orr-Sommerfeld.[2]
  • la segona és una simulació directa per un desplaçament a l'espai des d'una pertorbació inicial raonablement seleccionada.

Aquests dos mètodes donen resultats similars: la inestabilitat de Görtler apareix per G> 0,3 i per longituds d'ona llargues. Les mesures de túnel de vent donen valors significativament més alts i depenen significativament de les pertorbacions.

Referències[modifica]

  1. Görtler, Henry «Instabilita-umt laminarer Grenzchichten an Konkaven Wiinden gegenber gewissen dreidimensionalen Störungen» (en alemany). Journal of Applied Mathematics and Mechanics (ZAMM), 21, 1941, pàg. 250-252.
  2. 2,0 2,1 Görtler, Henry «On the Three-Dimensional Instability of Laminar Boundary Layers on Concave Walls» (Noia 64 mimetypes pdf.pngPDF) (en anglès). NACA Technical Memorandum, 1375, 1954.
  3. Tani, Itiro; Aihara, Yasuhiko «Görtler Vortices and Boundary-Layer Transition» (en anglès). Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 20, 1969, pàg. 609-618.
  4. 4,0 4,1 4,2 Floryan, J. Maciej «On the Görtler instability of Boundary Layers» (en anglès). Progress in Aerospace Sciences, 28, 1991, pàg. 235-271.
  5. Schlichting, Hermann; Gersten, Klaus. Boundary Layer Theory (en anglès). Springer, 2000. ISBN 3-540-66270-7. 
  6. Saric, William S «Görtler vortices» (en anglès). Annual Review of Fluid Mechanics, 26, 1994, pàg. 379-409.