Procés estocàstic

L'índex borsari és un exemple de procés estocàstic de tipus no estacionari (per això no es pot predir)

En estadística, i en concret teoria de la probabilitat, un procés aleatori o procés estocàstic és un concepte matemàtic que serveix per caracteritzar és una successió de variables aleatòries (estocàstiques) que evolucionen en funció d'una altra variable, generalment, el temps. Cadascuna de les variables aleatòries del procés té la seva pròpia funció de distribució de probabilitat i, entre elles, poden estar correlacionades o no. Cada variable o conjunt de variables sotmeses a influències o impactes aleatoris és un procés estocàstic.

Exemples

• Els següents són exemples dins de l'ampli grup de les sèries temporals:
  • Senyals de telecomunicació
  • Senyals biomèdiques (electrocardiograma, encefalograma, etc.)
  • Senyals sísmiques
  • El nombre de taques solars any rere any
  • L'índex de la borsa segon a segon
  • L'evolució de la població d'un municipi any rere any
  • El temps d'espera en cua de cada un dels usuaris que van arribant a una finestreta
  • El clima és un gegantí cúmul de processos estocàstics interrelacionats (velocitat del vent, humitat de l'aire, etc) que evolucionen en l'espai i en el temps.
  • Els processos estocàstics d'ordre més gran a més un, com el cas d'una sèrie de temps d'ordre 2 i una correlació de zero amb les altres observacions.

Definició matemàtica

Un procés estocàstic es pot definir equivalentment de dues maneres diferents:

• Com un conjunt de realitzacions temporals i un índex aleatori que selecciona una d'elles.
• Com un conjunt de variables aleatòries $X_T\,$ indexades per un índex $t\,$, atès que $t\in T\,$, amb $T\subseteq\mathbb (R)\,$.

$T\,$ pot ser continu si és un interval (el nombre dels seus valors és il·limitat) o discret si és numerable (només pot assumir determinats valors).

Les variables aleatòries $X_T\,$ prenen valors en un conjunt que s'anomena espai probabilístic.

Sigui $(\Omega,\mathcal B, P)$ un espai probabilístic.

En una mostra de mida $n$ s'observa un succés compost $E$ format per successos elementals $\omega$:

$E = \{\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n\} \sub \Omega\,$, de manera que $E \isin B\,$.

El succés compost és un subconjunt contingut en el espai mostral i és un àlgebra de Boole $B$. A cada succés $\omega$ li correspon un valor d'una variable aleatòria $V$, de manera que $V$ és funció de $\omega$:

$V = V (\omega);\qquad\omega\in\Omega,\, -\infty <V <\infty$

El domini d'aquesta funció és a dir el camp de variabilitat del succés elemental, és l'espai mostral, i la seva recorregut, o sigui el de la variable aleatòria, és el camp dels nombres reals. Es diu procés aleatori al valor en $(A,\mathcal A)$ d'un element $X = (\Omega,\mathcal B, (X_T) _ (t\ge 0), P)$, on per a tot $t\in\mathbb (R), X_T\,$ és una variable aleatòria del valor en $(A,\mathcal A)$.

Si s'observa el succés $\omega$ en un moment $t$ de temps:

$V = V (\omega, t),\qquad\omega\in\Omega, t\in T, -\infty <V <\infty$.

$V$ defineix així un procés estocàstic.

Si $((\mathcal B) _T) _T\,$ és unafiltració, s'anomena procés aleatori adaptat, al valor en $(A,\mathcal A)$, d'un element $X = (\omega,\mathcal B,\mathcal (B) _T, (X_T) _T, P)$, on $X_T\,$ és una variable aleatòria $\mathcal (B) _T$-mesurable del valor en $(A,\mathcal A)$ . La funció $\mathbb R \rightarrow A\ : \ t \mapsto X_t(\omega)$ es diu la trajectòria associada al succés $\omega\,$.

Casos especials

• Procés estacionari: Un procés és estacionari en sentit estricte si la funció de distribució conjunta de qualsevol subconjunt de variables és constant respecte a un desplaçament en el temps. Es diu que un procés és estacionari en sentit ampli (o dèbilment estacionari) quan es verifica que:

1. La mitjana teòrica és independent del temps, i
2. Les autocovariances d'ordres només vénen afectades pel lapse de temps transcorregut entre els dos períodes i no depenen del temps.

• Procés homogeni: És el que té variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes
• Procés de Markov: Un procés discret en que l'evolució només depèn de l'estat actual i no dels anteriors.
• Procés de Gauss: Un procés continu en el que tota combinació lineal de variables és una variable de distribució normal.
• Procés de Poisson: És un procés continu en el temps
• Procés de Gauss-Markov: És un procés, al mateix temps, de Gauss i de Markov
• Procés de Bernoulli És un procés discret amb una distribució binomial.