Equacions de Newton-Euler

En mecànica clàssica, les equacions de Newton-Euler descriuen la combinació de la dinàmica de transició i de rotació d'un sòlid rígid.

Tradicionalment, les equacions de Newton-Euler és l'agrupació conjunta de les dues lleis del moviment d'Euler d'un sòlid rígid en una única equació amb 6 components, que utilitza vectors columna i matrius. Aquestes lleis relacionen el moviment del centre de gravetat d'un sòlid rígid amb la suma de les forces i els parells (també anomenats moments) que actuen en el sòlid rígid.

Sistema de referència del centre de massa

Respecte un sistema de coordenades que té l'origen en el centre de massa del cos, les equacions de Newton-Euler poden ser expressades en forma matricial com

$\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$

on

F = força total que actua sobre el centre de massa

m = massa del cos

I₃ = la matriu identitat 3×3

a_cm = acceleració del centre de massa

v_cm = velocitat del centre de massa

τ = parell total que actua al voltant del centre de massa

I_cm = moment d'inèrcia al voltant del centre de massa

ω = velocitat angular del cos

α = acceleració angular del cos

Sistema de referència qualsevol

Respecte un sistema de referència ubicat en un punt P fixe en el cos i que no coincideix amb el centre de massa, les equacions prenen la forma

$\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$

on c és la ubicació del centre de massa expressat en el sistema de referència centrat en el cos, i

$[\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)$

denota les matrius de producte vectorial antisimètriques.

Els termes inercials estan inclosos en la matriu d'inèrcia espacial

$\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),$

mentre que les forces fictícies es tenen en compte en el terme:

$\left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).$

Quan el centre de massa no coincideix amb el sistema de coordenades (és a dir, quan c és diferent de zero), les acceleracions translacional i angular (a i α) estan acoblades, de tal manera que totes dues estan associades amb components de força i moment.

Aplicacions

S'utilitzen les equacions de Newton-Euler com a base de formulacions més complicades en què interactuen diversos cossos (teoria helicoidal) que descriuen la dinàmica de sistemes de sòlids rígids connectats amb juntes i altres restriccions. Es poden solucionar els problemes de diversos cossos utilitzant diversos algorismes numèrics.

Vegeu també

• Lleis del moviment d'Euler d'un sòlid rígid
• Angles d'Euler
• Força centrífuga