Usuari:Mcapdevila/Història de la geometria

La geometria com una de les arts liberals i Euclides.

Prehistòria i protohistòria

És raonable pensar que els orígens de la geometria sorgeix amb els primers pictogramas que traça l'home primitiu doncs, segurament, classificava-fins i tot de manera inconscient-el que l'envoltava segons la seva forma. En l'abstracció d'aquestes formes comença el primer acostament-informal i intuïtiu-a la geometria. Així sembla confirmar l'ornamentació esquemàtica abstracta en els atuells de ceràmica i altres estris.

Antic Egipte

Article principal: Geometria a l'Antic Egipte

Les primeres civilitzacions mediterrànies adquireixen a poc a poc certs coneixements geomètrics de caràcter eminentment pràctic. La geometria al antic Egipte estava molt desenvolupada, com admetre Heròdot, Estrabó i Diodor, que acceptaven que els egipcis havien "inventat" la geometria i l'havien ensenyat als grecs, tot i que l'únic que ha perdurat són algunes fórmules-o, millor dit, algoritmes expressats en forma de "recepta" - per a calcular volums, àrees i longituds, la finalitat era pràctica. Amb elles es pretenia, per exemple, calcular la dimensió de les parcel de terra, per reconstruir després de les inundacions anuals. D'allà el nom γεωμετρία, geometria : "mesurament de la terra" (de γῆ (ge) 'terra' més μετρία (metria), 'mesurament').

Els anomenats Papir de Ahmes i Papir de Moscou mostren conjunts de mètodes pràctics per obtenir diverses àrees i volums, destinats a l'aprenentatge de escribes. És discutible si aquests documents impliquen profunds coneixements o representen en canvi tot el coneixement que els antics egipcis tenien sobre la geometria.

Els historiadors antics ens van relatar que el coneixement d'aquesta civilització sobre geometria-així com els de les cultures mesopotàmiques-va passar íntegrament a la cultura grega a través de Tales de Milet, els pitagòrics i, essencialment, de Euclides.

Geometria grega

Tales va romandre a Egipte una llarga temporada de la seva vida, aprenent dels coneixements de sacerdots i escribes. També se li atribueix la predicció d'un eclipsi solar.

La geometria grega va ser la primera a ser formal. Part dels coneixements concrets i pràctics de les civilitzacions egípcia i mesopotàmica, i dóna un pas d'abstracció en considerar els objectes com a ens ideals-un quadrat ideal, en lloc d'una paret quadrada concreta, un cercle en comptes de l'ull d'un pou, etc .- que poden ser manipulats mentalment, amb la sola ajuda de regle i compàs. Apareix per primera vegada la demostració com a justificació de la veracitat d'un coneixement encara que, en un primer moment, fossin més justificacions intuïtives que veritables demostracions formals.

La figura de Pitàgores i de la secta per ell creada: els pitagòrics, té un paper central, ja que eleva a la categoria d'element primigeni el concepte de nombre (filosofia que de forma més explícita o més implícita, sempre ha estat dins de la Matemàtica i de la Física), arrossegant a la geometria al centre de la seva doctrina-en aquest moment inicial de la història de la Matemàtica encara no hi ha una distinció clara entre geometria i aritmètica -, i s'assenta definitivament el concepte de demostració (aquest ja si coincideix amb el concepte de demostració formal) com a única via d'establiment de la veritat en geometria.

Aquesta actitud va permetre (encara fora de la secta) la mesura del radi de la Terra per Eratòstenes, així com el mesurament de la distància a la Lluna, i la investigació i establiment de la teoria de les palanca s, per Arquimedes, diversos segles després.

En el si de la secta dels pitagòrics sorgeix la primera crisi de la Matemàtica: l'aparició dels incommensurables, però aquesta crisi és de caràcter més aritmètic que geomètric.

Sorgeix llavors un petit problema de Lògica, que consisteix en el següent: una demostració part d'una o diverses hipòtesis per obtenir un resultat anomenat tesi. La veracitat de la tesi dependrà de la validesa del raonament amb el qual s'ha extret (això serà estudiat per Aristòtil en crear el Lògica) i de la veracitat de les hipòtesis. Però llavors hem de partir d'hipòtesis certes per poder afirmar amb rotunditat la tesi. Per poder determinar la veracitat de les hipòtesis, caldrà considerar cadascuna com a tesi d'un altre raonament, les hipòtesis haurem també comprovar. S'entra aparentment en un procés sense fi en el qual, indefinidament, les hipòtesis es converteixen en tesi a provar.

Euclides i els elements

Fragment d'un dels Papirs d'Oxirrinc amb unes línies de Els elements de Euclides.

Euclides, vinculat al Museu d'Alexandria i al seu Biblioteca, tanca la qüestió en proposar un sistema d'estudi en què es dóna per fet la veracitat de certes proposicions per ser intuïtivament clares, i deduir d'elles tots els altres resultats. El seu sistema es sintetitza en la seva obra cimera, Els elements, model de sistema axiomàtic-deductiu. Sobre tan sols cinc postulats i les definicions que necessita construeix tota la geometria i la Aritmètica conegudes fins al moment. La seva obra, en tretze volums, perdurarà com a única veritat geomètrica fins entrat el segle XIX.

Entre els postulats en què Euclides es recolza n'hi ha un (el cinquè postulat) que porta problemes des del principi. La seva veracitat està fora de tot dubte, però tal com apareix expressat en l'obra, molts consideren que segurament pot deduir de la resta de postulats. Durant els següents segles, un dels principals problemes de la geometria serà determinar si el V postulat és o no independent dels altres quatre, és a dir, si cal considerar-lo com un postulat o és un teorema, és a dir, pot deduir dels altres, i per tant col·locar entre la resta de resultats de l'obra.

Després d'Euclides

Euclides gairebé tanca definitivament la geometria grega - i per extensió la del món antic i medieval-, a excepció de les figures de Arquimedes i Apoloni.

Arquimedes va estudiar àmpliament les seccions còniques, introduint en la geometria les primeres corbes que no eren ni rectes ni circumferències, a part del seu famós càlcul del volum de l'esfera, basat en els del cilindre i el con.

Esquema de les quatre seccions còniques.

Apoloni va treballar en diverses construccions de tangències entre cercles, així com en seccions còniques i altres corbes.

Els tres problemes de l'Antiguitat

La geometria grega és incapaç de resoldre tres famosos problemes que heretaran els matemàtics posteriors. És important observar que els tres problemes han de ser resolts utilitzant únicament la regla i el compàs, únics instruments (a més del paper i el llapis, per descomptat) vàlids a la geometria d'Euclides. A més dels tres problemes, la disputa de si el V postulat era o no un teorema (de si es podia o no deduir dels altres quatre) també es considera un dels problemes clàssics de la geometria grega. Aquests tres problemes són els següents:

La duplicació del cub

Diu la llegenda que una terrible pesta assolava la ciutat de Atenes, fins al punt de dur a la mort a Pèricles. Una ambaixada de la ciutat va anar al oracle de Delos, consagrat a Apol·lo (en certes fonts apareix l'oracle de Delfos, en lloc del de Delos, també consagrat a Apol·lo), per a consultar què s'havia de fer per eradicar la mortal malaltia. Després de consultar a l'Oracle, la resposta va ser que s'havia de duplicar l'altar consagrat a Apol·lo a l'illa de Delos. L'altar tenia una peculiaritat: la seva forma cúbica. Aviat, els atenencs van construir un altar cúbic. Els costats eren el doble dels de l'altar de Delos, però la pesta no es va aturar, sinó que es va tornar més mortífera. Consultat de nou, l'oracle va advertir als atenencs que l'altar no era el doble de gran, sinó 8 vegades més gran, ja que el volum del cub és el cub del seu costat ($(2l)^{3}=2^{3}l^{3}=8l^{3}$). Ningú va saber com construir un cub el volum fos exactament el doble del volum d'un altre cub donat, i el problema matemàtic persistir durant segles (no així la malaltia).

La trisecció de l'angle

Aquest problema consisteix en dividir un angle qualsevol en tres angles iguals, utilitzant únicament la regla i el compàs, de manera que la suma de les mesures dels nous tres angles sigui exactament la mida del primer.

La quadratura del cercle

La quadratura del cercle consisteix en tractar d'obtenir, donat un cercle, un quadrat amb una àrea mesura exactament el mateix que l'àrea del cercle. Anaxàgores va ser el primer en intentar resoldre'l, dibuixant a les parets de la seva cel quan va ser fet presoner per explicar diversos fenòmens que els grecs atribuïen als déus. Tampoc va poder ser resolt pels geòmetres de l'antiguitat, i va arribar a ser el paradigma de l'impossible. Com a curiositat, el filòsof anglès David Hume va arribar a escriure un llibre amb suposats mètodes per resoldre el problema. Hume no tenia coneixements matemàtics seriosos, i mai va acceptar que tots els seus mètodes fallaven.

Edat mitjana

Durant els següents segles la Matemàtica comença nous camins - àlgebra i trigonometria - de la mà d'indis i àrabs, i la geometria amb prou feines té noves aportacions, excepte alguns teoremes de caràcter més aviat anecdòtic. a occident, tot i que la geometria és una de les set arts liberals (enquadrada concretament en el quadrivi), les escoles i universitats es limiten a ensenyar "Els Elements", i no hi ha aportacions, excepte potser en la investigació sobre la disputa del V postulat. Si bé no es va arribar a dilucidar en aquest període si era o no independent dels altres quatre, si es van arribar a donar noves formulacions equivalents d'aquest postulat.

Geometria projectiva

És en el Renaixement quan les noves necessitats de representació de l'art i de la tècnica empenyen a certs humanistes a estudiar propietats geomètriques per obtenir nous instruments que els permetin representar la realitat. Aquí s'emmarca la figura del matemàtic i arquitecte Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Albrecht Dürer, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, per citar només alguns. Tots ells, en descobrir la perspectiva i la secció, creen la necessitat d'establir les bases formals en la qual consolidar les noves formes de geometria que aquesta implica: la geometria projectiva, els principis fonamentals apareixen de la mà de Desargues En el segle XVII. Aquesta nova geometria de Desargues va ser estudiada ampliamant ja per Pascal o per de la Hire, però a causa de l'interès suscitat per la geometria cartesiana i els seus mètodes, no va arribar tanta difusió com mereixia fins a l'arribada a principis del segle XIX de Gaspard Monge, en primer lloc, i sobretot de Poncelet.

Geometria cartesiana

René Descartes.

Però és sens dubte l'aparició de la geometria cartesiana el que marca la geometria a la edat moderna. Descartes proposa un nou mètode de resoldre problemes geomètrics, i per extensió, d'investigar en geometria.

El nou mètode es basa en la següent construcció: en un pla es tracen dues rectes perpendiculars (eixos)-que per conveni es tracen de manera que una d'elles sigui horitzontal i l'altra vertical-, i cada punt del pla queda unívocament determinat per les distàncies d'aquest punt a cada un dels eixos, sempre que es doni també un criteri per determinar sobre què semiplà determinat per cada una de les rectes cal prendre aquesta distància, criteri que ve donat per un signe. Aquest parell de nombres, les coordenades, quedarà representat per un parell ordenat $(x,y)$, essent $x$ la distància a un dels eixos (per conveni serà la distància a l'eix vertical) i $i$ la distància a l'altre eix (l'horitzontal).

A la coordenada $x$, el signe positiu (que sol ometre) significa que la distància es pren cap a la dreta de l'eix vertical ( eix d'ordenades ), i el signe negatiu (mai s'omet) indica que la distància es pren cap a l'esquerra. Per a la coordenada $i$, el signe positiu (també se sol ometre) indica que la distància es pren cap amunt de l'eix horitzontal ( eix d'abscisses ), prenent-se cap avall si el signe és negatiu (tampoc s'omet mai en aquest cas). A la coordenada $x$ la hi sol denominar abscissa del punt, mentre que a la $i$ s'anomena ordenada del punt.

Eixos coordenats.

Hi ha una certa controvèrsia (encara avui) sobre la veritable paternitat d'aquest mètode. L'únic cert és que es publica per primera vegada com "geometria analítica", apèndix del "Discurs del mètode", de Descartes, si bé se sap que Pierre de Fermat coneixia i utilitzava el mètode abans de la seva publicació per Descartes. Tot i que Omar Khayyam ja en el segle XI utilitzés un mètode molt semblant per determinar certes interseccions entre corbes, és impossible que algun dels esmentats matemàtics francesos tingués accés a la seva obra.

La novetat de la geometria analítica (com també es coneix a aquest mètode) és que permet representar figures geomètriques mitjançant fórmules del tipus $f(x,y)=0$, on $f$ representa una funció. En particular, les rectes poden expressar-se com equacions polinòmiques de grau 1 (vg: $2x+6i=0$) i les circumferències i la resta de còniques com equacions polinòmiques de grau 2 ( vg: la circumferència $x^{2}+i^{2}=4$, la hipèrbola $xy=1$). Això convertia tota la geometria grega en l'estudi de les relacions que existeixen entre polinomis de graus 1 i 2. Des d'un punt de vista formal (encara que ells encara ho sabien), els geòmetres d'aquesta època han trobat una relació fonamental entre l'estructura lògica que usaven els geòmetres grecs (el pla, la regla, el compàs ...) i l'estructura algebraica del ideal format pels polinomi s de graus 0, 1 i 2 del Anell de polinomis $\mathbb {R} [x,y]$, resultant que les dues estructures són equivalents. Aquest fet fonamental (no vist amb nitidesa fins el desenvolupament del Àlgebra Moderna i de la Lògica Matemàtica entre finals del segle XIX i principis del segle XX) és fonamental per entendre per què la geometria dels grecs pot desprendre dels seus axiomes i estudiar directament utilitzant la axiomàtica de Zermelo-Fraenkel, com la resta de la Matemàtica.

El mètode original de Descartes no és exactament el que s'acaba d'explicar. Descartes utilitza només l'eix d'abscisses, calculant el valor de la segona component del punt $(x,y)$ mitjançant l'equació de la corba, donant-li valors a la magnitud $x$. D'altra banda, Descartes només considera valors positius de les quantitats $x$ i $i$, ja que en l'època encara resultaven "sospitosos" els nombres negatius. Com a conseqüència, en els seus estudis existeixen certes anomalies i apareixen corbes esbiaixades. Amb el temps es van acceptar les modificacions que mostren el mètode tal com el coneixem avui en dia.

Els nous mètodes

Esgotament del mètode sintètic

L'aparició de la geometria analítica comporta una nova forma d'entendre la Geometria. El nou mètode, algebraic, substitueix l'antic, el sintètic, consistent en establir uns axiomes i unes definicions i deduir d'ells els teoremes. El mètode sintètic està a hores d'ara gairebé esgotat (tot i que encara donarà alguns resultats interessants, com la característica d'Euler, la naturalesa d'aquests resultats no és ja tant geomètrica com topològica, i els resultats realment importants que es facin des d'ara en el camp de la Geometria ja vindran de la mà de mètodes algebraics o diferencials), dóna pas al mètode algebraic: estudi dels objectes geomètrics com a representacions en l'espai de certes equacions polinòmiques, o dit d'una altra manera, del conjunt de arrels de polinomis. El mètode sintètic només tornarà a abordar quan apareguin les geometries no euclidianes, i definitivament deixa de ser un instrument d'investigació geomètrica a principis del segle XX, quedant relegat a un conjunt d'instruments i eines per a la resolució de problemes, però ja com una disciplina tancada.

Els límits del mètode algebraic

El mètode algebraic es veu possibilitat per un avanç en Àlgebra fet durant el segle XVI, la resolució de les equacions de tercer i quart grau. Això permet generalitzar la geometria, en estudiar corbes que no són donades per polinomis de segon grau, i que no poden construir-se amb regla i compàs-a més de les còniques, excloent a la circumferència, és clar-. Però aquest mètode, que acabarà constituint una disciplina pròpia, la geometria algebraica, trigarà encara molt-segle XX-en sortir d'unes poques nocions inicials, pràcticament inalterades des Descartes, Fermat i Newton. La raó és la impossibilitat de resoldre per radicals l'equació de cinquè grau, fet no descobert fins al segle XIX, i el desenvolupament de la Teoria de Anells i del àlgebra commutativa.

Càlcul infinitesimal

El mètode algebraic té una altra generalització natural, que és la de considerar una corba no només com una equació polinòmica, sinó com una equació $f(x,y)=0$ en la qual el polinomi és ara substituït per una funció qualsevol $f$. La generalització de tot això des del pla (dues coordenades) a estereoespacio (tres coordenades) es fa de forma natural afegint un tercer eix perpendicular (eix z) als dos ja considerats, i les funcions prendran la forma $f(x,y,z)$.

Ja Isaac Barrow descobreix gràcies a la geometria analítica la relació entre la tangent a una corba i l'àrea que tanca entre dos punts i els eixos de coordenades en la seva famosa regla de Barrow, abans fins i tot que Newton i Leibnitz donessin cadascú la seva exposició del càlcul infinitesimal. La relació entre l'Anàlisi matemàtica i la geometria és així estretíssima des fins i tot els orígens d'aquell. Les idees geomètriques no només van ser la base dels instruments inicials del Càlcul Infinitesimal, sinó que van ser en gran mesura la seva inspiració. Per això resulta natural que en un primer moment, Descartes, Newton o els Bernoulli no distingir entre els conceptes de corba i de funció d'una variable (o si es vol, de corba i els zeros d'una funció de dues variables ). Va ser Euler el primer a començar a intuir la diferència, i el primer també a ampliar aquest tipus d'estudis a les superfícies (com a funció de dues variables o com el conjunt dels zeros d'una funció de tres variables). El treball de Monge continua per aquesta línia.

D'ara endavant, i fins a l'aparició de Carl Fridrich Gauss, la geometria queda supeditada a les seves aplicacions a mecànica i altres branques de la física per mitjà de la resolució d'equacions diferencials. S'estudia en especial la interpretació geomètrica de les equacions diferencials (tant de la solució en si com problemes associats a elles, com pot ser el de les corbes ortogonals). En aquesta època apareix el que serà el cavall de batalla de la geometria diferencial: el teorema de la funció implícita.

Va ser Huygens el primer a estudiar la curvatura d'una corba plana, encara que sembla que va ser Clairaut el que utilitza amb mestria i fixa el concepte.

Edat Contemporània

Gauss

Carl Friedrich Gauss

Gauss torna el caràcter geomètric que impregna part de l'anàlisi matemàtica, fonamentalment amb dues contribucions: el naixement de la variable complexa i de la geometria diferencial.

Però no són les úniques contribucions d'aquest geni al camp de la geometria. En la seva adolescència es va veure dividit entre dedicar-se a la filologia o l'matemàtica. Als 17 va descobrir la manera de construir el polígon regular de 17 costats, i la condició necessària i suficient perquè un polígon regular pugui construir-se. Això va determinar la seva vocació.

En la seva primera demostració del Teorema Fonamental de l'Àlgebra (de les cinc que va realitzar al llarg de la seva carrera) va establir les bases de l'Anàlisi de Variable complexa, usant la interpretació geomètrica dels nombres complexos com a vectors fixos del pla (no en aquest llenguatge, que serà introduït molt més tard). Per cert, s'atribueix a Gauss la paternitat d'aquesta idea. Primer Wessel i després Arganda se li van anticipar, però ningú coneixia els estudis d'ambdós. Encara que no és pròpiament obra seva, ja que la Variable complexa està desenvolupada fonamentalment per Cauchy, sí que és el primer a abordar seriosament, i sobre tot li dóna una interpretació geomètrica que marcarà el desenvolupament d'aquesta branca.

Però la principal contribució de Gauss a la geometria és la creació de la geometria diferencial, reprenent les idees que sobre les relacions entre l'anàlisi matemàtica i la geometria hi havia fins aleshores i desenvolupant àmpliament.

Partint de la base que la geometria estudia l'espai, les corba si les superfícies, estableix la noció fonamental de curvatura d'una superfície. Gràcies a ella, i a la definició de geodèsica, demostra que si considerem que una geodèsica és una corba amb menor distància entre dos punts sobre una superfície (és a dir, si tenim dos punts sobre una superfície, el camí més curt entre aquests dos punts sense sortir de la superfície és un segment de geodèsica), concepte totalment anàleg sobre la superfície de recta en el pla, hi ha superfícies en les que els triangles formats per les geodèsiques mesuren més de la mesura de dues caironat, i altres en les que mesura menys. Això, essencialment, és contradir el V postulat d'Euclides.

Aquestes consideracions van portar a Gauss a considerar la possibilitat de crear geometries no euclidianes, però encara que en aquell moment ja era el matemàtic més prestigiós d'Europa, va considerar que la mentalitat de l'època no estava preparada per un resultat de tal magnitud, i mai va publicar aquests resultats. Només van veure la llum quan Bolyai va publicar la seva geometria no euclidiana, i va comprovar que la comunitat científica general acceptava el resultat.

Així que, d'una banda, Gauss va ser el primer en crear una geometria no euclidiana, i d'altra va ser el creador de la geometria Diferencial i precursor de la Variable Complexa.

A més, Gauss és el primer a considerar una nova propietat en la geometria: l'orientació.

El final dels grans problemes de l'antiguitat

La controvèrsia sobre el V postulat

János Bolyai.

Com ja s'ha avançat, Gauss és el primer a construir una geometria (un model de l'espai) en el qual no es compleix el V postulat d'Euclides, però no publica el seu descobriment. Són Bolyai i Lobatchevsky que, de manera independent i simultàniament publiquen cada un una geometria diferent en la qual no es verifica tampoc el V postulat.

Què vol dir això? Tant Bolyai com Lobatchevsky parteixen d'un objecte geomètric i estableixen sobre ell uns postulats que són idèntics als d'Euclides a Los Elements, excepte el cinquè. Pretenen originalment raonar per reducció a l'absurd: si el V postulat depèn dels altres quatre, quan el substitueixi per aquell que diu exactament el contrari, he d'arribar a alguna contradicció lògica. El més sorprenent és que no s'arriba a contradicció cap, la qual cosa vol dir dues coses:

1 º El V postulat és independent dels altres quatre, és a dir, no pot deduir dels altres quatre, no és un teorema, i Euclides va fer bé en considerar-lo com un postulat.

2 º Hi ha models de l'espai en què, en contra de tota intuïció, per un punt que no estigui en una certa recta no passa una única recta paral·lela a la donada. Això és tremendament antiintuitiu, ja que no podem concebre tal cosa, no podem imaginar (ni de bon tros dibuixar) una situació així, sense reinterpretar els conceptes de recta, pla, etc. Però des del punt de vista lògic és perfectament vàlid.

Com és d'imaginar, això va suposar una forta crisi en la Matemàtica del segle XIX, que va venir a sumar-se a altres controvèrsies.

És important assenyalar que les geometries de Bolyai i de Lobatchevsky, no depèn de si es construeixen usant mètodes analítics o sintètics. Hi ha formes de construir-tant de manera sintètica com analítica. El model és el mateix s'arribi com arribi, el que abunda en la seva veracitat.

La trisecció de l'angle i la duplicació del cub

Un fet aparentment llunyà en Àlgebra donarà com a resultat la resolució d'aquests dos problemes. Galois mor als 21 anys d'edat deixant un "testament" ple d'idees precipitadament escrites. Entre elles es troben les bases de la Teoria de Grups i de la Teoria de Galois. Galois va resoldre el problema de trobar una fórmula per solucionar les equacions de 5è grau, però aquest resultat no va arribar a ser publicat en (la seva curta) vida. Va concloure que una equació de grau 5 o major no pot ser resoluble per radicals (és a dir, mitjançant una fórmula amb un nombre finit d'operacions algebraiques). La seva manera d'abordar el problema obre una nova via dins de la Matemàtica.

Però la Teoria de Galois (una branca de l'Àlgebra que tracta sobre quan és possible resoldre una equació polinòmica estudiant el conjunt de nombres en què s'expressa aquesta equació) no dóna només aquests fruits. També demostra que tot el construïble amb regle i compàs té una traducció a polinomis molt concreta. Es demostra que trisecar un angle o duplicar un cub necessita de polinomis que no tenen aquesta forma, i per tant, és impossible amb la sola ajuda de la regla i el compàs trisecar un angle qualsevol o duplicar un cub.

La quadratura del cercle

el 1862, Lindemann demostra que el nombre $\pi$ és transcendent, és a dir, no pot ser arrel de cap polinomi amb coeficients enters. Això implica que no és un nombre que pugui construir amb regle i compàs, i demostra que no és possible construir amb només aquests instruments un quadrat d'àrea igual a la d'un cercle donat.

Geometria intrínseca

Resulta complicat establir una data precisa en què els geòmetres van començar a interessar-se per qüestions de geometria intrínseca. La matemàtica grega va plantejar els problemes geomètrics fent referència a les propietats mètriques d'un conjunt de punts definits i localitzats en el pla i en l'espai . La perspectiva era, per tant, extrínseca.

Tradicionalment, se li atribueix a Euler el descobriment el 1752 d'una propietat dels políedre s convexos. Trucant S, A i F al nombre de vèrtexs, arestes i cares, Euler va demostrar la relació d'igualtat S-A+F = 2, coneguda avui com característica d'Euler. El resultat era sorprenent perquè no feia intervenir ni la longitud ni l'àrea.

el 1813 Simon Antoine Jean L'Huillier es va adonar que la fórmula d'Euler es modificava per a un políedre no convex, amb la forma, per exemple, d'un sòlid amb forats (com el bou: SA F = 2-2g, sent g el nombre de forats. Aquest és el primer càlcul d'un invariant topològic que va permetre classificar les superfícies de l'espai. No obstant això, la perspectiva continuava sent extrínseca, ja que els forats es veuen des de l'exterior. Com, per exemple, una formiga que anés per una habitació sense sostre podria representar el forat?

Carl Friedrich Gauss, interessat per la geometria de les superfícies, va establir un resultat sense precedents: el teorema egregium: "la curvatura de Gauss d'una superfície de l'espai no depèn de la manera en el que aquesta s'insereix en l'espai ambient. "

La fórmula de Gauss-Bonnet, pressentida per Gauss i demostrada per Pierre-Ossian Bonnet el 1848, expressarà la característica d'Euler en termes de curvatura, evidenciant la imbricació entre les consideracions geomètriques i topològiques.

Nous espais amb estranyes propietats

La geometria no euclidiana neix de la impossibilitat de demostrar el cinquè postulat d'Euclides. El primer intent de demostrar per reducció a l'absurd va ser assajat per Saccheri a 1733. Gauss va ser el primer a comprendre la possibilitat que existissin geometries alternatives a la euclidiana. Aquestes geometries serien desenvolupades per Lobatchevsky i Bolyai.

La cinta de Möbius, introduïda gairebé simultàniament el 1858 per dos matemàtics alemanys August Ferdinand Möbius i Johann Benedict Listing va ser el primer exemple de superfície no orientable.

Riemann

Bernhard Riemann.

El 10 de juny de 1854, Bernhard Riemann fa una conferència a la Universitat de Göttingen per completar la seva habilitació (grau que li permetria optar a una plaça de professor universitari). El tema de la conferència va ser la geometria, a elecció de Gauss, el seu protector i antic professor durant la llicenciatura i el doctorat. La conferència, el títol va ser Über die hypotheses, Welch der Geometrie zu Grund liegen ( Sobre les hipòtesis que estan en els fonaments de la geometria ), passa per ser una de les més celebrades de la història de la matemàtica, i un dels majors èxits científics de la humanitat. D'entre els presents es diu que només Gauss va ser capaç de comprendre el seu contingut, i cal dir que li va entusiasmar.

Varietats riemanniana i el tensor curvatura

A la primera part de la conferència, Riemann es pregunta quin problema hi ha en augmentar el nombre de dimensions de l'espai. Riemann, usant fins i tot un llenguatge intuïtiu i sense fer demostracions, introdueix primer el concepte de varietat diferenciable, generalització del concepte de superfície a qualsevol nombre (enter positiu) arbitrari de dimensions. De fet, el nom varietat fa referència a les diverses coordenades que variarien per anar obtenint els punts de l'objecte. Les superfícies serien les varietats de dimensió 2, mentre que les corbes serien les varietats de dimensió 1, i fins i tot els punts les de dimensió 0. De tota manera, aquesta aproximació al concepte és massa imprecisa, ja que el punt clau de la definició formal d'una varietat diferenciable (definició no exposada correctament fins 1913 per Hermann Weyl) és que això és cert localment, és a dir, cada punt de la varietat té algun entorn homeomorfa a un obert del espai euclidià $\mathbb {R} ^{n}$, de manera que quan l'invers d'un d'aquests Homeomorfismes es compon amb un altre d'aquests homeomorfisme s'obté una Funció diferenciable d'un obert de $\mathbb {R} ^{n}$ en un altre obert de $\mathbb {R} ^{n}$. Però com diem van fer falta gairebé 60 anys perquè la definició acabés de quallar.

No era la primera vegada que s'especulava amb la possibilitat de l'existència d'espais de dimensió superior a 3. De fet aquest tema ha estat tractat en la Història en diverses ocasions, però sempre des d'un punt de vista de la realitat sensible (per negar la seva existència) o metafísic. És Cayley que el 1843 tracta explícitament el tema per primera vegada, i tornarà a ell novament en repetides ocasions. Li seguiran Sylvester, Clifford, Grassmann i Schläfli entre d'altres, encara que cal dir que la visió de tots ells és molt més algebraica que geomètrica.

És probable que l'estudi de les superfícies de Riemann, objectes a l'estudi havia dedicat la seva tesi doctoral, induïssin a Riemann a pensar en aquest concepte de varietat de dimensió arbitrària.

Si prenem uns eixos coordenats i dibuixem tots els punts $(x,f(x))$, on $x$ varia en un interval i $f$ és una funció real, derivable i definida sobre aquest mateix interval, obtindrem la corba (dimensió 1) fa la gràfica d'una funció.

Si en lloc de ser una funció d'una variable tenim una funció de dues variables $f(x,y)$, al dibuixar tots els punts $(x,y,f(x,y))$, on $(x,y)$ són d'una regió del pla on estigui definida $f$, obtenim una superfície (dimensió 2). Riemann estudia funcions complexes de variable complexa, és a dir, funcions la gràfica hauria per punts coses de la forma $(x,y,u(x,y),v(x,y))$, i tant $o(x,y)$ com $v(x,y)$ funcions reals (és a dir, cada un representa un nombre real). Les gràfiques d'aquest tipus de funcions haurien dimensió 3 i estarien en un espai de 4 dimensions, i gaudirien de propietats molt semblants a les de les superfícies.

Una varietat riemanniana no és només un objecte geomètric n-dimensional. És una varietat diferencial a la que a més s'ha de dotar d'una mètrica. Una mètrica és un camp de tensors diferenciable de grau 2 . Vegem: a cada punt d'una varietat diferencial es pot calcular l'espai tangent a la varietat en aquest punt, igual que en una superfície (suau), en cada punt podem calcular l'pla tangent en aquest punt a la superfície, i en una corba (suau) podem calcular en cada punt la recta tangent a la corba en aquest punt.

Aquest espai tangent tindrà la mateixa dimensió que la varietat (en el cas de corbes, l'espai tangent-la recta tangent-té dimensió 1, en el de superfícies té dimensió 2). Una mètrica (o estructura riemanniana ) sobre una varietat és una aplicació que a cada punt de la varietat li assigna un producte escalar en l'espai tangent a la varietat en aquest punt, i aquesta aplicació és diferenciable. Un producte escalar és, per entendre'ns, una regla que ens permet calcular longituds de segments i ángulos entre rectes. A través d'una mètrica, es poden definir sobre una varietat conceptes com longitud d'una corba o el angle entre dues corbes, generalitzar a varietats el concepte de geodèsica, ja utilitzat per Gauss per a superfícies, que ve a ser (ull, això és una explicació de com és una geodèsica, no és una definició) una corba dibuixada sobre una superfície (o en el nostre cas sobre una varietat) de tal manera que entre dos seus punts minimitzi la distància mesurada sobre la superfície (varietat). Per exemple, si tenim un globus i marquem dos punts sobre ell, la distància més curta es calcularà, com sabem, per la mesura del segment de recta que travessa el globus per ambdós punts. No obstant això, si el que pretenem és buscar el camí més curt per arribar d'un punt a un altre sense sortir de la superfície del globus, haurem de dibuixar sobre ell una corba que uneixi els punts i es Combe per la pròpia "curvatura" del globus . Aquesta corba seria un segment de geodèsica a la superfície del globus.

El punt culminant de la primera part de la conferència va arribar quan Riemann, utilitzant les geodèsiques, defineix el tensor curvatura seccional, que és la generalització a varietats del concepte de curvatura estudiat per Gauss. Aquest instrument permet "mesurar la curvatura" d'una varietat.

El model de l'Univers

A la segona part de la conferència, Riemann es pregunta pel model que ha de seguir l'espai físic, l'espai en el qual ens movem, quina és la seva dimensió, quina és la seva geometria.

Les idees de Riemann, decididament molt avançades per a la seva època, van quallar definitivament quan Einstein i Poincaré, al mateix temps però de manera independent, les van aplicar a l'espai físic per crear la Teoria de la Relativitat.

El nou mode de Riemann d'estudiar la geometria considera que qualsevol model d'espai (ja sigui el pla, l'espai tridimensional, o qualsevol altre) pot ser estudiat com una varietat diferenciable, i que en introduir-hi una mètrica s'està determinant la geometria que governa aquest objecte. Per exemple, el pla no és, per si sol, euclidià ni no euclidià, sinó que introduint la mètrica euclidiana és quan en el pla verifica el V postulat d'Euclides. Si en lloc de considerar aquesta mètrica s'introdueix en el pla una altra mètrica, com la de Lobatchevsky, deixa de verificar el mateix postulat. La propietat de les geodèsiques de minimitzar la longitud entre dos dels seus punts sense sortir de la varietat recorda molt a la definició de les rectes com aquelles línies que determinen la menor distància entre dos punts. Es considera que les geodèsiques són a les varietats riemanniana el que les rectes l'espai euclidià, és a dir, les geodèsiques són com les rectes de les varietats.

Aquesta nova visió permet estudiar totes les noves geometries no euclidianes, així com la geometria euclidiana amb la mateixa òptica de la nova geometria riemanniana.

Quan les idees de Riemann aconsegueixen estendre, la geometria passa ja definitivament a ser l'estudi de les varietats, deixant de ser definitivament l'estudi de triangles, circumferències, polígons, etc.

Els punts bàsics de la conferència de Riemann són, d'una banda, la possibilitat d'augmentar indefinidament el nombre de dimensions de l'espai (l'Àlgebra i l'Anàlisi estan ja creant la maquinària necessària per poder operar en dimensió finita arbitrària, de manera que definitivament es podrà estudiar geometria més enllà de la seva visualització gràfica), és a dir, d'estudiar espais de 3, 4, 5 ... dimensions, i d'altra banda dotar els geòmetres d'un instrument, el tensor curvatura, que els permet estudiar les propietats intrínseques d'aquests nous objectes, aquests nous espais, les varietats.

Klein

Felix Klein.

Felix Klein és l'altra gran peça clau de la geometria en el segle XIX. El 1871 va descobrir que la geometria euclidiana i les no euclidianes poden considerar com a casos particulars de la geometria d'una superfície projectiva amb una secció cònica adjunta. Això implicava dues coses: la primera és que la geometria euclidiana i les no euclidianes podien considerar com a casos particulars de la geometria projectiva (o millor dit, de la geometria d'una superfície en un espai projectiu). La segona, que la geometria euclidiana és consistent (és a dir, no pot portar a contradiccions) si i només si ho són les geometries no euclidianes.

Amb això es dóna fi a la controvèrsia de si les geometries no euclidianes tenen sentit o no, encara que l'assumpte coleará encara uns anys davant l'escepticisme de certs elements que consideren erroni l'argument de Klein.

Però l'aportació més important de Klein a la geometria és el seu famós Programa d'Erlangen, on dóna una nova definició de geometria.

El Programa de Erlangen

Amb motiu del seu ingrés com a professor a la Facultat de Filosofia i al Senat de la Universitat de Erlangen, Klein va escriure una memòria en 1872 (que per cert no va arribar a llegir en públic) que pot considerar-se, al costat de la Conferència de Riemann i als Elements d'Euclides, com els punts essencials de l'estudi de la geometria.

La idea de la memòria, coneguda com el Programa d'Erlangen, és força simple. Es tracta de donar una definició formal del que és una geometria, més enllà de la idea més o menys intuïtiva que tenim d'ella.

Davant l'aparició de les noves geometries no euclidianes, sembla lògic preguntar-se què és la geometria, i més quan la pròpia idea de la geometria euclidiana s'havia vist modificada des de la irrupció dels mètodes algebraics i analítics. Comença a no estar tan clar que la geometria sigui l'estudi de punts, línies (rectes o corbes) i superfícies, ja que la mateixa Anàlisi Matemàtica (sobretot en l'estudi de equacions diferencials) sembla que també estudia aquests objectes. D'altra banda, els mètodes analítics i algebraics també són aplicables a les geometries no euclidianes. Hi ha, diguem-ne, dos nivells de distincions: d'una banda, la de les geometries no euclidianes i la geometria euclidiana, d'altra banda, la distinció entre el mètode sintètic, l'algebraic i el analític.

¿Què és llavors la geometria?

Klein dóna resposta a aquesta pregunta introduint en la geometria un nou concepte de caràcter algebraic: el concepte de grup. Un grup és un conjunt $G$ on hi ha definida una operació, és a dir, una aplicació $G\times G\longrightarrow G$ que a cada parell d'elements del conjunt li assigna altre element del conjunt (que serà el resultat d'operar aquests dos elements). Mentre que la majoria de la gent està familiaritzada amb les operacions numèriques, els resulta difícil imaginar que puguin operar punts, rectes, etc. Pot fer-se, i només cal pensar en, per exemple, l'operació "prendre el punt mig", que a cada parell de punts li assigna el punt mitjà del segment que uneix els dos primers punts.

Perquè un conjunt en què hi hagi una operació sigui un grup han de complir certes condicions, que són:

• L'operació ha de ser associativa: això vol dir que si prenem qualsevol tres elements $a,b,c$ del conjunt, el resultat d'operar els dos primers ($a$ i $b$) i operar el resultat d'això amb el tercer ($c$) ha de ser el mateix que si primer operem el segon i el tercer ($b$ i $c$) i el resultat el operem amb el primer ($a$). És a dir, si l'operació la anomenem $\star$ ha de passar que $a\star (b\star c)$ deu ser el mateix que $(a\star b)\star c$.

• Ha d'existir un element neutre: això vol dir que ha d'haver un element $i$ del conjunt de manera que si prenc qualsevol altre element $a$ del conjunt i el opero amb ell, llavors el resultat torna a ser l'element $a$, és a dir, és com si l'element $a$ no ho hagués operat. Així, amb la nostra notació, $i\star a=a$ i $a\star i=a$.

• Finalment, cada element ha de tenir un element simètric: això vol dir que si jo prenc un element qualsevol $a$ del conjunt, llavors puc trobar un altre element ${\hat {a}}$ del conjunt de tal manera que en operar tots dos, el resultat que obtinc és l'element neutre: $a\star {\hat {a}}={\hat {a}}\star a=i$.

El concepte de grup no és invenció de Klein, però és ell qui descobreix un fet fonamental que el relaciona amb les diferents geometries: cada geometria és l'estudi de certes propietats que no canvien quan se li apliquen un tipus de transformacions. Aquestes propietats, per no canviar, les denomina invariant s, i les transformacions que a un invariant no li fan canviar han de tenir estructura de grup sota l'operació de composició (compondre dues transformacions és fer una d'elles i aplicar-li l'altra transformació al resultat de la primera). Resumint, Klein defineix soterrar geometria com donar el subgrup de les bijecció d'un conjunt en si mateix que un s'admetrà com grup principal . Els conceptes o definicions seran els invariants per aquest grup principal, i els teoremes seran les relacions entre els conceptes.

Així Klein descobreix que, per exemple, la geometria euclidiana és l'estudi dels invariants mitjançant el grup dels moviments rígids (com les simetries, girs i translacions), que la geometria afí és l'estudi dels invariants mitjançant el grup de les translacions, que la geometria projectiva és l'estudi dels invariants mitjançant el grup de les projectades, i fins i tot que la Topologia és l'estudi dels invariants mitjançant el grup de les funcions contínues i de inversa contínua, entre d'altres.

De fet, Klein afirma que la comprensió de "tenir una geometria, llavors hi ha un grup principal " és més aviat al revés. Un a priori diu quin tipus de transformacions s'admetrà (és a dir, dóna el grup) i tota la resta es pot reconstruir a partir d'ell. Es demostra fins i tot, que si un dóna un subgrup de les bijecció d'un conjunt en si mateix isomorf a algun grup clàssic (simetries, translacions, Projectivitat) llavors tots els teoremes d'aquesta geometria són vàlids en aquest.

El descobriment de Klein és fonamental, ja que per una banda ens permet classificar les geometries, comprenent quina és una "subgeometria" de qual, d'altra banda ens permet comprendre què és l'estudi general de la geometria (com a disciplina matemàtica) i finalment, però no menys important, és la confirmació que els mètodes sintètic i algebraic no donen geometries diferents, sinó que realment estudien la mateixa geometria en cada cas. Es posa fi així a la distinció entre el mètode sintètic i el algebraic-analític. En la seva època va suposar la consagració de la geometria projectiva com la Reina de les Geometries .

Enllaços externs

• Història de la geometria grega