Probabilitat

Daus

La probabilitat mesura el grau d'incertesa d'un esdeveniment dintre d'un experiment aleatori. La teoria de la probabilitat s'usa extensament en àrees com l'estadística, la matemàtica, la ciència i la filosofia per a treure conclusions sobre la probabilitat de successos potencials i la mecànica subjacent de sistemes complexos.

El càlcul de probabilitats és una part de les matemàtiques que es dedica a calcular la possibilitat (probabilitat) que pugui ocórrer un determinat succés, quan es realitza un experiment aleatori. S´entén per experiment aleatori aquell en el que no es coneix el resultat que sortirà, però sí tots els resultats possibles (per exemple: llançar una moneda a l´aire, jugar a la loteria primitiva, fer una travessa, etc.). Un succés d´un experiment aleatori no és més que un subconjunt dels possibles resultats, com per exemple treure un sis quan llancem un dau a l´aire, o treure cara quan llancem una moneda.

Al conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori li diem espai mostral i normalment el representem amb el signe Ω. Si llancem una moneda i observem la "cara" superior veurem que els resultats possibles són cara o creu, així doncs, l'espai mostral d'aquest experiment és Ω = {cara, creu}. O si llancem un dau i observem el nombre de la "cara" superior, els resultats possibles són 1, 2, 3, 4, 5 o 6, és a dir, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

El matemàtic francès Laplace, va contribuir de manera important al desenvolupament del càlcul de probabilitats. És de destacar la regla de Laplace, que ens permet calcular mitjançant una fórmula, la probabilitat d´un succés associat a un experiment aleatori, en el cas que tots els successos d´aquesta experiència siguin equiprobables (és a dir, que tinguin la mateixa probabilitat de verificar-se).

Així i tot, la probabilitat no és pas una ciència exacta. Simplement analitza i calcula possibles resultats. No hem de confiar cegament en ella, en el sentit que si hem obtingut un resultat d´un 90% per exemple en un problema concret, no vol dir que necessàriament hagi de succeir. Moltes vegades, per poc que ens agradi, ocorren els resultats amb menys probabilitat teòrica.

Quan es tracta de resoldre problemes basats en experiències aleatòries, i ens preguntem per la probabilitat que pugui ocórrer un determinat succés, llavors necessitem fórmules matemàtiques que ens permetin obtenir aquests resultats. La fórmula que es pot considerar fonamental per al càlcul de probabilitats és una contribució del matemàtic Laplace com hem comentat abans, i expressa la probabilitat associada a un succés d´un experiment aleatori, en el cas que tots els successos corresponents tinguin la mateixa probabilitat de succeir. Es pot expressar així:

$P={\frac {\text{nombre casos favorables}}{\text{nombre casos possibles}}}$

el numerador expressa el nombre total de casos favorables perquè pugui ocórrer el succés que estem considerant. El denominador expressa el nombre total de casos possibles de l´experiment aleatori en qüestió.

Per calcular els valors del numerador i del denominador, en realitat es tracta de comptar, hem de tenir unes nocions bàsiques de càlcul combinatori.

La regla de Laplace és molt útil per al càlcul de probabilitats, però també hem de tenir en compte que ens poden presentar casos una mica més complexes. A l´hora de calcular la probabilitat en un problema concret, pot ocórrer que un succés estigui compost per altres successos, amb diferents possibilitats, i llavors la seva probabilitat no seria pas la que ens dóna directament la regla de Laplace.

Història i terminologia

Article principal: Història de la probabilitat

Originàriament, a les traduccions d'Aristòtil, el terme « probabilitat » no denota una quantificació del caràcter aleatori d'un fet, sinó la idea que un concepte és comunament acceptat per tothom. No va ser fins al Renaixement que, arran dels comentaris successius i de les imprecisions de les traduccions de l'obra d'Aristòtil, aquest terme va evolucionar fins acabar per designar la versemblança d'una idea. Dels segles XVI a XVII va prevaler aquest significat, en particular en l'estudi del probabilisme dins l'àmbit de la teologia moral. Va ser durant la segona meitat del segle xvii, arran de l'obra de Blaise Pascal, Pierre de Fermat i Christiaan Huygens · sobre el problema dels punts que aquest terme va anar prenent paulatinament el seu sentit actual, amb els desenvolupaments del tractament matemàtic d'aquest tema per Jakob Bernoulli. A partir del segle xix apareix el que es pot considerar com la teoria moderna de la probabilitat en matemàtiques.

Així, existeixen diverses nocions:

• la probabilitat d'un esdeveniment caracteritza la possibilitat que aquest fet es produeixi, una versemblança, una apariència de veritat. (definició 2 de Larousse).

  Vegeu l'article del Viccionari: probable,

• les probabilitats d'un esdeveniment donen el percentatge de possibilitats que aquest fet es produeixi, és a dir, dónen un o més valors (o percentatge) de la possibilitat que es produeixi. Aquesta noció s'apropa a la noció matemàtica de distribució de probabilitat (definició 1 de Larousse). Més formalment, expressa la relació entre en nombre de casos favorables i el nombre de casos possibles.
• les probabilitats o el càlcul de probabilitats o la teoria de la probabilitat és la teoria matemàtica que estudia el caràcter probable dels esdeveniments (definició 1 de Larousse).

  Vegeu l'article: Teoria de la probabilitat,

• el probabilisme és una doctrina de teologia moral que defensa que hom pot realitzar una acció, encara que estigui en contra de l'opinió general o el consens social, si és que hi ha una possibilitat, encara que sigui petita, que els seus resultats posteriors siguin bons.

  Vegeu l'article: probabilisme.

Noció de probabilitat d'Aristòtil

El primer ús del terme probabilitat apareix en 1370 amb la traducció de l'Ètica a Nicòmac d'Aristòtil per Oresme i designa « el caràcter del que és probable ». El concepte d'Aristòtil (ενδοξον, en grec) és així definit en els Tòpics  :

«

Sont probables les opinions qui sont reçues par tous les hommes, ou par la plupart d’entre eux, ou par les sages, et parmi ces derniers, soit par tous, soit par la plupart, soit enfin par les plus notables et les plus illustres

»

El que atribueix una opinió probable segons Aristòtil és el seu caràcter generalment admès; no va ser fins la traducció de Ciceró dels Tòpics d'Aristòtil, que va traduir per probabilis o per verisimilis, on la noció de versemblança s'associa a la de « probabilitat », i això va tenir un impacte al llarg de l'Edat mitjana i posteriorment del Renaixement amb els successius comentaris de l'obra d'Aristòtil.

Doctrina de la probabilitat al segle xvi i al segle xvii

La doctrina de la probabilitat, també anomenada probabilisme, és una teologia moral catòlica que es va desenvolupar al llarg del segle xvi sota la influència entre d'altres de Bartolomé de Medina i dels jesuïtes. Amb l'aparició de la doctrina de la probabilitat, aquest terme va patir un canvi semàntic, que va acabar per designar a meitats del segle xvii el caràcter versemblant d'una idea.

La probabilitat d'una opinió designa a meitats del segle xvii la probabilitat que una opinió sigui vertadera. Va ser a partir de finals del segle xvii, amb el sorgiment de la probabilitat matemàtica, que la noció de probabilitat no denota només les opinions i les idees, sinó també els fets, i s'apropa a la noció d'atzar amb la qual es coneix en l'actualitat.

Noció moderna de probabilitat

L'aparició de la noció de « risc », anterior a l'estudi de les probabilitats, no va ser fins el segle xii amb l'avaluació de contractes comercials, amb el Traité des contrats de Pere de Joan Olivi, i es va desenvolupar durant el segle xvi amb la generalització dels contractes d'assegurança marítima. Apart d'algunes consideracions elementals de Girolamo Cardano a inicis del segle xvi i de Galileu a inicis del segle xvii, el naixement real de la teoria de la probabilitat data de la correspondència entre Pierre de Fermat i Blaise Pascal en 1654.

No va ser fins a partir de mitjans del segle xvii, amb el sorgiment del tractat matemàtic d'aquest tema, que va aparéixer l'ús modern del terme probabilitat.

Probabilitats del segle xvii al segle xix

Pàgina d'una « còpia de la primera carta de Pascal a Fermat »

El naixement real de la teoria de la probabilitat data de la correspondència entre Pierre de Fermat i Blaise Pascal en 1654. Ambdós comencen a elaborar les bases del tractament matemàtic de les probailitats, al voltant de l'estudi de jocs d'atzar proposats, entre d'altres, per Antoine Gombaud, cavaller de Méré. (vegeu al costat una pàgina de la correspondència entre Pascal i Fermat sobre el problema dels punts). Encara que se'ls considera com a fundadors del tractament de la probabilitat, mai no van publicar-ne els seus treballs, i no va ser fins Huygens que va aparèixer publicat un primer escrit sobre aquest tema.

Encoratjat per Pascal, Christiaan Huygens va publicar De ratiociniis in ludo aleae (sobre el raonament dels jocs d'atzar) en 1657. Aquest llibre va ser la primera obra important sobre probabilitat. Huygens defineix la noció d'esperança matemàtica i hi desenvolupa diversos problemes de repartiment de guanys en jocs o de llançaments d'objectes en urnes. També cal destacar dues obres més: Ars Conjectandi de Jakob Bernoulli (pòstuma, 1713) que defineix la noció de variable aleatòria i dóna la primera versió de la Llei dels grans nombres, i Théorie de la probabilité d'Abraham de Moivre (1718) que generalitza l'ús de la combinatòria.

La Teoria de l'error, que estudia la quantificació de la diferència entre la mesura que hom fa d'una variable i el seu valor real, i que és precursora del Teorema del límit central, va sorgir amb l'Opera Miscellanea de Roger Cotes (pòstuma, 1722). Thomas Simpson va ser el primer a aplicar-la als errors sobre les observacions en 1755.

Pierre-Simon Laplace va donar una primera versió del Teorema del límit central en 1812 que es pot aplicar a una variable de dos estats, per exemple cara o creu però no a un dau de sis cares.

Sota l'impuls de Quételet, que va obrir el 1841 Sous l'impulsion de Quetelet, que va fundar la primera oficina estadística (el Conseil Supérieur de Statistique ), es desenvolupen l'estadística, que esdevé una branca distingida de les matemàtiques recolzada en la probabilitat, i no pas una part.

Naixement de la teoria clàssica de la probabilitat

La teoria de la probabilitat clàssica va créixer realment amb les nocions de mesura i conjunt mesurable introduïdes per Émile Borel en 1897. Aquesta noció de mesura fou completada per Henri Léon Lebesgue i la seva teoria de la integració. La primera versió moderna del Teorema del límit central va ser donada per Aleksandr Liapunov en 1901, i la primera demostració del teorema modern va ser donada per Paul Pierre Lévy el 1910. El 1902, Andrei Màrkov introdueix les cadenes de Màrkov per emprendre una generalització de la llei dels grans nombres per una seqüència d'experiències depenents les unes de les altres. Aquestes cadenes de Màrkov tenen una àmplia utilitat, com per exemple la modelització del moviment brownià o la indexació de llocs d'internet per Google.

Va ser necessari esperar fins el 1933 per tal que la teoria de la probabilitat deixés de ser merament una col·lecció de mètodes i exemples i esdevingués una teoria per si mateixa, axiomatitzada per Andrei Kolmogórov.

Kiyoshi Itō formalitzà una teoria i un lema que porta el seu nom durant els anys 1940. Això va permetre connectar el càlcul estocàstic i les equacions en derivades parcials, establint així un lligam entre l'anàlisi matemàtica i la probabilitat. El matemàtic Wolfgang Döblin, per la seva banda, va esbossar una teoria similar abans de suïcidar-se per la derrota del seu batalló el juny de 1940. Els seus treballs van ser enviats a l'Académie des Sciences en un sobre tancat, que no va ser obert fins l'any 2000.

Probabilitat de successos compostos

Imaginem que ens demanem per la probabilitat d´un succés associat a un experiment aleatori, en el qual hi ha diferents possibilitats perquè pugui ocórrer. Per exemple: si disposem de dues urnes que contenen boles de color blanc i negre, quina és la probabilitat que al triar una urna a l´atzar i una bola, aquesta sigui de color blanc? En aquest cas, la probabilitat té dues opcions: elegir la primera o la segona urna.

En casos com aquest, en els quals la probabilitat d´un succés té diferents opcions, es parla de probabilitat de successos compostos, i no se pot aplicar directament la regla de Laplace.

Si anomenam A i B dos successos, de tal manera que el succés pel qual ens demanem la probabilitat està compost per aquests dos, la probabilitat que pugui ocórrer A o B és:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

essent P(A) la probabilitat associada al succés A, P(B) la del succés B, i P(A ∩ B) la probabilitat que puguin succeir conjuntament (en el cas que no sigui possible, aquesta seria 0). És a dir, la probabilitat del succés A o B és la suma de la probabilitat de cadascun dels successos menys la probabilitat de que succedeixin conjuntament, ja que aquesta darrera j'ha s'ha comptat dintre de cadascuna de les probabilitats de cada succés.

Aquesta fòrmula es pot estendre seguint el mateix raonament per a tres o més successos, per exemple:

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

Probabilitat condicionada

Hi ha casos, en els quals necessitem conèixer la probabilitat d'un succés sabent que prèviament ha ocorregut un altre. És el que es coneix com a probabilitat condicionada. Si B representa el succés que ha passat i A el succés pel qual ens demanem la probabilitat, la fórmula que ens permet calcular la probabilitat que ocorri el succés A sabent que ha ocorregut el B, és:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

essent P(A∩B) la probabilitat que es verifiquin el successos A i B simultàniament, i P(B) la probabilitat associada al succés B.

Podem generalitzar el resultat anterior, si consideram que: A₁,A₂,A₃,..........A_n constitueixen una partició de l'espai mostral, i que B és un succés qualsevol, llavors, la probabilitat que es verifiqui el succés A_i sabent que prèviament s'ha verificat el B, és:

$P(A_{i}|B)={\frac {P(A_{i})P(B|A_{i})}{\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k})}}$

aquest resultat es coneix amb el nom de Teorema de Bayes.

Tractament matemàtic

Article principal: Teoria de la probabilitat

Considerem un experiment que pot produir una sèrie de resultats. El conjunt de tots els resultats s'anomena espai mostral de l'experiment. El conjunt de les parts de l'espai mostral està format per considerar tots els conjunts diferents que es puguin considerar a partir dels resultats possibles. Per exemple, llançar un dau presenta sis possibles resultats. Un conjunt des resultats possible seria l'obtenció d'un nombre senar en el dau. Així doncs, el subconjunt {1,3,5} és un element del conjunt de les parts de l'espai mostral de tirades. Aquests conjunts s'anomenen "esdeveniments". En aquest cas, {1,3,5} és l'esdeveniment en què el dau dóna un nombre senar. Si els resultats que realment es produeixen pertanyen a un determinat esdeveniment, es diu que l'esdeveniment s'ha produït.

La probabilitat és una manera d'assignar a cada esdeveniment un valor entre zero i un, amb el requisit que a l'esdeveniment compost de tots els resultats possibles (en l'exemple que es proposa, l'esdeveniment {1,2,3,4,5,6})) se li assigna un valor d'un. Per a qualificar com una probabilitat, l'assignació de valors han de complir el requisit de que si ens fixem en un conjunt d'esdeveniments mútuament excloents (esdeveniments sense resultats comuns, per exemple, els esdeveniments {1,6}, {3} i {2,4} són mútuament excloents), la probabilitat que almenys un dels esdeveniments es produeixi es dóna per la suma de les probabilitats de tots els esdeveniments individuals.

La probabilitat d'un esdeveniment A s'escriu P(A), p(A) o Pr(A). Aquesta definició matemàtica de la probabilitat es pot estendre a infinits espais mostrals, i fins i tot a innombrables espais mostrals, utilitzant el concepte de mesura.

El contrari o complement d'un esdeveniment A és l'esdeveniment [no A] (és a dir, el cas en que A no es produeixi); la seva probabilitat és donada per P (no A) = 1 - P (A). Com a exemple, la probabilitat de no treure un sis en un dau de sis cares és de 1 - (possibilitat de treure un sis) $=1-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}$

La probabilitat que dos esdeveniments A i B es produeixin en una mateixa repetició d'un experiment s'anomena probabilitat d'intersecció o distribució conjunta d' A i B, notada com $P(A\cap B)$.

Esdeveniments independents

Si dos esdeveniments A i B són independents llavors la seva probabilitat conjunta és

$P(A{\mbox{ i }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B),\,$

Per exemple, si es llencen dues monedes, la probabilitat que les dues donin cara és ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.$

Esdeveniments mútuament excloents

Donats dos esdeveniments 'A' i 'B', la possibilitat que es produeixin qualsevol o ambdós en una sola repetició d'un experiment s'anomena la unió dels esdeveniments A i B. La seva probabilitat es nota $P(A\cup B)$. Si dos esdeveniments són mútuament excloents llavors la probabilitat de la seva unió és

$P(A{\mbox{ o }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

Per exemple, la possibilitat de treure un 1 o un 2 en un dau de sis cares és $P(1{\mbox{ o }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$

Esdeveniments no mútuament excloents

Si els esdeveniments no són mútuament excloents llavors

$\mathrm {P} \left(A{\hbox{ o }}B\right)=\mathrm {P} \left(A\right)+\mathrm {P} \left(B\right)-\mathrm {P} \left(A{\mbox{ and }}B\right).$

Per exemple, en treure una sola carta a l'atzar d'una baralla de cartes de pòquer, la probabilitat que surti un cor o una figura (J, Q, K) (o una figura de cors) és ${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}$, ja que de les 52 cartes d'una baralla, 13 són cors, 12 són figures i 3 són figures de cors. En aquest cas, cal tenir en compte que les possibilitats de les 3 figures de cors (${\tfrac {3}{52}}$) ja s'inclouen en les dels 13 cors (${\tfrac {13}{52}}$) i de les 12 figures (${\tfrac {12}{52}}$), i doncs cal restar-les per no comptar-les dues vegades.

Probabilitat condicionada

Probabilitat condicionada és la probabilitat d'un esdeveniment, donada l'ocurrència d'un altre esdeveniment B. S'escriu P(A|B), i es llegeix "la probabilitat de A, donat B". Es defineix per

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,$

Si $P(B)=0$, llavors $P(A\mid B)$ no està definit. Tingueu en compte que en aquest cas A i B són independents.

Taula resum

Resum de probabilitats

Esdeveniment	Probabilitat
A	$P(A)\in [0,1]\,$
no A	$P(A')=1-P(A)\,$
A o B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{si A i B són mútuament excloents}}\\\end{aligned}}$
A i B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{si A i B són independents}}\\\end{aligned}}$
A donat B	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,$

Referències

Articles i altres fonts

Bibliografia

• Kallenberg, O. (2005). Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York. 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O. (2002). Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Olofsson, Peter (2005). Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. 504 pp ISBN 0-471-67969-0.

Vegeu també

• Anàlisi de relacions.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Probabilitat

• Probabilitat a thales.cica.es (en castellà)
• Bayes´s Theorem (en anglès)
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)
• Probability and Statistics EBook
• Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
• People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)
• Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)
• Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• A tutorial on probability and Bayes’ theorem devised for first-year Oxford University students
• pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963) at UbuWeb
• Probability Theory Guide for Non-Mathematicians
• Understanding Risk and Probability with BBC raw
• Introduction to Probability - eBook, by Charles Grinstead, Laurie Snell Source (GNU Free Documentation License)
• Fonaments bàsics de probabilitat adaptats al món del futbol Matifutbol.com (català)