Sistema de coordenades
En geometria, un sistema de coordenades és un sistema que utilitza un o més números o coordenades, per determinar de forma única la posició d'un punt o d'un altre element geomètric.[1][2] És un conjunt de valors que permeten definir unívocament la posició de qualsevol punt en l'espai respecte a un punt de referència. L'ús d'un sistema de coordenades permet que determinats problemes en geometria es tradueixin en problemes numèrics, i a l'inrevés, aquesta és la base de la geometria analítica.[3]
El conjunt d'eixos, punts o plans, que conflueixen en l'origen i a partir dels quals es calculen les coordenades s'anomena sistema de referència.
Taula de continguts |
[modifica] Sistemes de coordenades utilitzats
[modifica] Recta numèrica
L'exemple més simple d'un sistema de coordenades és la identificació de punts en una recta amb nombres reals utilitzant la recta numèrica. En aquest sistema, s'escull un punt arbitrari O (l'origen) en una línia. La coordenada d'un punt P es defineix com la distància signada d'O a P, on la distància signada és la distància és positiva o negativa segons en quina banda de la línia es troba P. A cada punt se li dóna una coordenada única i cada nombre és la coordenada d'un punt únic.[4]
[modifica] Sistema de coordenades cartesianes
El sistema de coordenades cartesianes o cartesià és un sistema de referència respecte ja sigui un sol eix (línia recta), respecte dos eixos (un pla) o respecte tres eixos (en l'espai), perpendiculars entre si (pla i espai), que es tallen en un punt anomenat origen de coordenades. En el pla, les coordenades cartesianes (o rectangulars) "x" i "y", que s'anomenen respectivament abscissa i ordenada. Per convenció, l'origen del sistema de coordenades cartesianes és el punt (0,0,0). Les coordenades cartesianes es defineixen per dos eixos (X,Y) quan es tracta de fixar punts en el pla i per tres (X,Y,Z) quan es vol fer això en l'espai. Es consideren eixos mútuament perpendiculars que es tallen en l'origen. Les coordenades d'un punt qualsevol vindran donades per les projeccions de la distància entre el punt i l'origen sobre cadascun dels eixos.
S'anomenen coordenades cartesianes en honor a René Descartes (1596-1650), el cèlebre filòsof i matemàtic francès que va voler fonamentar el seu pensament filosòfic amb la necessitat de prendre un «punt de partida» sobre el qual edificar tot el coneixement. Com a creador de la geometria analítica, Descartes també va començar prenent un «punt de partida», el sistema de referència cartesià, per poder representar la geometria plana, que fa servir només dues rectes perpendiculars entre si que es tallen en un punt anomenat «origen de coordenades ».
[modifica] Sistema de coordenades polars
Les coordenades polars es defineixen per un eix que passa per l'origen, anomenat eix polar. La primera coordenada és la distància entre l'origen i el punt considerat, mentre que la segona és l'angle que formen l'eix polar i la recta que passa per tots dos punts. El sistema de coordenades polars és un sistema de coordenades de dues dimensions en el que cada punt en un pla està determinat per un angle i una distància. El sistema de coordenades polars és especialment útil quan la relació entre dos punts s'expressa més bé en termes d'angles i distàncies. En el sistema més conegut, el cartesià o de coordenades rectangulars, aquestes relacions cal trobar-les a partir de les funcions trigonomètriques.
Com que el sistema de coordenades és de dues dimensions, cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per r ) denota la distància del punt al punt central (conegut com pol i equivalent a l'origen en el sistema cartesià). La coordenada angular (també anomenada angle polar o angle azimutal, i normalment denotat per θ o t ) denota l'angle positiu (o angle mesurat en sentit antihorari) per arribar al punt a partir de l'eix polar o radi de 0° (que és equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).[5]
Si bé hi ha exemples que els conceptes d'angle i ràdio es coneixen i manegen des de l'antiguitat, no és sinó fins al segle XVII, posterior a la invenció de la geometria analítica, en què es pot parlar del concepte formal de sistema coordenades polars. No obstant això, el concepte abstracte de sistema de coordenada polar es deu a Isaac Newton, qui en el seu Mètode de les fluxions escrit el 1671 i publicat el 1736, introdueix vuit nous sistemes de coordenades (a més de les cartesianes) per resoldre problemes relatius a tangents i corbes, un dels quals, el setè, és el de les coordenades polars.[6] El 1691, en la revista Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli va utilitzar un sistema amb un punt en una línia, anomenant-los pol i eix polar respectivament. Les coordenades s'especificaven per la distància al pol i l'angle respecte a l'eix polar. El treball de Bernoulli va servir de base per a trobar el radi de curvatura de corbes expressades en aquest sistema de coordenades.
El terme actual de coordenades polars s'atribueix a Gregorio Fontana, i va ser utilitzat pels escriptors italians del segle XVIII. El terme apareix per primera vegada en anglès en la traducció de 1816 feta per George Peacock del Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (Tractat del càlcul diferencial i del càlcul integral) de Sylvestre François Lacroix,[7] mentre que Alexis Clairault ser el primer que va pensar en ampliar les coordenades polars a tres dimensions.
[modifica] Sistema de coordenades cilíndriques
El sistema de coordenades cilíndriques és una generalització del sistema de coordenades polars pla, al que s'afegeix un tercer eix de referència perpendicular als altres dos. La primera coordenada és la distància que hi ha entre l'origen i el punt, la segona és l'angle que formen l'eix i la recta que passa per tots dos punts, mentre que la tercera és la coordenada que determina l'altura del cilindre..
[modifica] Sistema de coordenades esfèriques
El sistema de coordenades esfèriques està format per tres eixos mútuament perpendiculars que es tallen en l'origen. La primera coordenada és la distància entre l'origen i el punt, essent les altres dues els angles que cal girar per arribar a la posició del punt.
[modifica] Sistema de coordenades homogènies
El sistema de coordenades homogènies assigna a cada punt una tupla de n+1 components denotada sovint [x0 : x1 : ... : xn ] que estan definides excepte multiplicació per escalars [λx0 : λx1 : ... : λxn ] λ≠0, és a dir, que dues n+1-ples representen el mateix punt en tant que es conservi la proporció entre les seves components. Aquest tipus de coordenades són molt usades en geometria projectiva, on representen els vectors de l'espai vectorial usat per a definir cada espai projectiu. També es fan servir, per exemple, al denotar les rectes del pla com a equacions en forma general Ax+By+C=0. Vegeu també coordenades homogènies i Geometria projectiva#Coordenades homogènies.
[modifica] Coordenades geogràfiques
Corresponen al concepte de la latitud i la longitud. Són els paràmetres que determinen la posició d'un punt de la superfície terrestre. Les línies de referència són l'equador terrestre i un meridià inicial (el de Greenwich per conveni). La longitud d'un punt P de la superfície terrestre és l'arc d'equador comprès entre el punt d'intersecció del meridià inicial de Greenwich amb l'equador i el punt d'intersecció del meridià local de P amb l'equador.
La latitud de P és l'arc del meridià local de P comprès entre l'equador i P, mesurat de 0° a 90° a cada hemisferi a partir de l'equador.
La forma real de la Terra fa que l'extensió d'un grau de longitud o de latitud sigui diferent en diferents punts geogràfics per la qual cosa per a més exactitud s'han fet correccions del càlcul de la latitud. La posició geogràfica d'un punt queda completament establerta en especificar l'altitud.
La latitud i la longitud poden mostrar-se en tres formats equivalents (sigles en anglès):
- Graus.Decimals Decimal Degree (DD) exemple 41.333- 106..500
- Graus:Minuts Degree Minute (DM) exemple 41:20- 106:30
- Graus:Minuts:Segons Degree Minute Second (DMS) exemple 41:20:00- 106:30:00
[modifica] Coordenades astronòmiques
Són els paràmetres que determinen la posició d'un astre a l'esfera celeste. Es tracta de determinar les posicions aparents que ocupen els astres al firmament, sobre l'anomenada esfera celeste. Així calen dos paràmetres angulars per a situar sobre aquesta esfera qualsevol astre, el valor numèric dels quals paràmetres és distint segons el sistema de coordenades elegit que són anomenats entre altres: celestial, horitzontal, equatorial, eclíptic, galàctic, extragalàctic, supergalàctic i binari.
[modifica] Referències
- ↑ Woods p. 1
- ↑ Weisstein, Eric W., "Coordinate System" a MathWorld (en anglès).
- ↑ Weisstein, Eric W., "Coordinates" a MathWorld (en anglès).
- ↑ Woods p. 8
- ↑ Brown, Richard G. Andrew M. Gleason. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. ISBN 0-395-77114-5.
- ↑ Boyer, C. B.. «Newton as an Originator of Polar Coordinates» (en anglès). American Mathematical Monthly, 56 (1949), 73-78. 10.2307/2306162.
- ↑ Smith, David Eugene. History of Mathematics. II (en anglès). Boston: Ginn and Co., 1925, 324.
[modifica] Bibliografia
- Voitsekhovskii, M.I.; A.B., Ivanov. Coordinates", a Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1556080104.
- Woods, Frederick S. Higher Geometry (en anglès). Ginn and Co., 1922, 1ff.
- Geometry of Differential Forms (en anglès). AMS Bookstore, 2001, 12. ISBN 0821810456.
[modifica] Enllaços externs
- «Sistema de coordenades hexagonal» (pdf) (en anglès). homepages.inf.es.ac.uk.
