Aquest article o aquest apartat conté informació obsoleta o li falta informació recent. Podeu col·laborar actualitzant-lo o afegint-hi la informació que manca. «Falten els darrers treballs»
Els seus pares eren William T. Close i Bettine Moore i és la segona de quatre germans. El seu pare era d'ascendència escocesa. La seva tia àvia, Mary Elsie Moore, era la dona de Marino Torlonia, 4t príncep de Civitella-Cesi, i va ser mare de l'Alexandro Torlonia (marit de la infanta Beatriu de Borbó i de Battenberg) i de la princesa Marina Torlonia (dona del tennista Francis Xavier Shields i àvia de l'actriu estatunidenca Brooke Shields).
El seu pare era un eminent cirurgià que el 1960 va fundar una clínica gratuïta al Zaire que va dirigir durant setze anys.[cal citació] Durant part d'aquest temps els seus fills van alternar la vida a l'Àfrica amb internats suïssos. Finalment van tornar a Connecticut a casa de la seva àvia.
Les seves primeres passes com a actriu van tenir lloc al Rosemary Hall, col·legi femení de Connecticut, on amb altres companyes van formar el grup de teatre anomenat "The Fingernails". Es va graduar el 1965 i durant els cinc anys següents va formar part com a soprano del grup "Up with People", amb el qual va recórrer Europa i Estats Units. És també en aquest temps quan es va casa amb el guitarrista de rock Cabot Wade. Es van divorciar dos anys després.
El 1970, un cop ja divorciada, va abandonar el grup i va començar a estudiar interpretació i antropologia a Virgínia. Allí, el seu mestre d'art dramàtic la va animar a presentar-se a unes audicions nacionals de teatre per a joves. Va arribar a la final i va obtenir un contracte amb la companyia "New Phoenix Repertory", amb la que es va traslladar a Nova York.
Després de molts papers secundaris, l'11 de novembre de 1974, una actriu principal es va sentir indisposada, i la Glenn la va haver de substituir[cal citació]. Malgrat no haver assajat el paper[cal citació], va aconseguir el seu primer èxit a Broadway, amb el paper d'Angelica, protagonista de Love for love, de William Congreve. Després d'aquest èxit, es va dedicar per complet al teatre, consolidant-se com a actriu i destacant en nombroses obres.
Aquesta polifacètica artista ha produït també documentals i bandes sonores que han estat nominades diverses vegades als Grammy. També ha estat nominada sis vegades als Globus d'Or tant en cinema con en televisió.
