Equació

Robert Recorde és un precursor de l'escriptura d'una equació. Va inventar l'ús del signe = per designar una igualtat.

Un sistema dinàmic correspon a un tipus particular d'equació, les solucions de la qual són funcions. El comportament límit és de vegades complex. En certs cassos, es caracteritza per una curiosa figura geomètrica, anomenada atractor estrany.

En matemàtiques una equació és una igualtat que conté una o diverses variables. Resoldre l'equació consisteix a determinar els valors que pot prendre la variable per tal de fer verdadera la igualtat. La variable també s'anomena desconeguda o incògnita i els valors per a les quals la igualtat es verifica solucions. A diferència d'una identitat, una equació és una igualtat que no és necessàriament verdadera per a tots els valors possibles que pot prendre la variable · .

Les equacions poden ser de naturaleses diverses, se les troba en branques diferents de les matemàtiques; les tècniques associades al seu tractament difereixen segons el seu tipus.

L'àlgebra estudia sobretot dues famílies d'equacions: les [[Equació polinòmica|equacions polinòmiques]] i les [[Equació lineal|equacions lineals]]. Les equacions polinòmiques són de la forma P(X) = 0,, on P és un polinomi. Mètodes de transformacions i de canvi de variable permeten resoldre les més simples. Les equacions lineals són de la forma a(x) + b = 0, on a és una aplicació lineal i b un vector. Per resoldre-les es fan servir tècniques algorísmiques o geomètriques, sorgides de l'àlgebra lineal o de l'anàlisi. Modificar el [[Domini (matemàtiques)|conjunt en que està definida]] la variable pot canviar considerablement la naturalesa de l'equació. L'àlgebra estudia tant les equacions diofàntiques, equacions tals que els coeficients i les solucions són enters. Les tècniques utilitzades són diferents i essencialment procedents de l'aritmètica modular. Aquestes equacions són en general difícils, sovint s'intenta determinar de manera única l'existència o l'absència de solució i, si existeixen, el seu nombre.

La geometria fa servir les equacions per caracteritzar figures. L'objectiu és diferent dels casos precedents, l'equació es fa servir per posar en evidència propietats geomètriques.En aquest context hi ha dues grans famílies d'equacions, les cartesianes i les paramètriques.

L'anàlisi estudia equacions del tipus f(x) = 0, on f és una funció que té certes propietats com la continuïtat, la derivabilitat o inclús el fet de ser contractant. Hi ha tècniques que permeten construir successions que convergeixen cap a una solució de l'equació. L'objectiu és poder aproximar la solució amb tanta precisió com sigui possible.

Un sistema dinàmic es defineix per una equació les solucions de la qual són, o bé successions, o bé funcions d'una o diverses variables. Existeixen dues qüestions centrals: l' estat inicial i el comportament asimptòtic. Per a cada estat inicial admissible, per exemple el valor de la successió o de la funció en zero, l'equació admet una única solució. De vegades, una petita modificació de l'estat inicial modifica poc la solució. No és sempre el cas, aquesta sensibilitat a la condició inicial és l'objecte de la primera qüestió. El comportament límit o també asimptòtic d'una solució correspon a la forma de la solució quan la variable tendeix cap a l'infinit, aquest comportament és l'objecte de la segona qüestió. Si no divergeix, pot, tendir cap a un valor donat, o bé apropar-se a un comportament cíclic (una funció periòdica o una successió que recorre sempre un mateix conjunt finit de valors i en el mateix ordre), o bé tenir un comportament caòtic, semblant que evoluciona per atzar, fins i tot si la solució és per definició determinista.

Observació: El terme inequació correspon a una definició diferent. Si bé en certs casos particulars els temes són connexos, en el cas general són prou allunyats per merèixer tractaments diferents. En conseqüència la inequació es tracta en un article separat.

Conceptes bàsics

Definició - equació, desconeguda i solució

Article principal: Incògnita)

L'exemple següent s'ha tret del llibre d'Al-Khwarizmi, un dels fundadors de l'àlgebra.

Un home mor i deixa quatre fills i fa una donació a un home igual a la part d'un dels seus fills i a un altre el quart del que queda. Si x designa la incògnita, aquí la fracció de l'herència que rep cada un dels fills, la pregunta es tradueix en l'equació següent, on el valor 1 a la dreta designa 1 herència: $(1)\quad 4x+x+{\frac {1}{4}}(1-x)=1$

En l'exemple, la formulació en forma d'equació, és a dir la igualtat (1), és equivalent a la pregunta plantejada. Respondre-la significa determinar l'únic valor que ha de prendre la incògnita x perquè la igualtat que defineix l'equació sigui verdadera. El maneig de la incògnita permet resoldre algunes equacions, com la que es presenta aquí. Aquesta visió és font d'una altra manera de definir una equació. Per a l' Enciclopèdia Soviètica de Matemàtiques, una equació és la traducció, sota una forma analítica, d'un problème. · L'equació f(x) = g(x) correspon a la pregunta: per a quin valor de x, l'equació es transforma en igualtat? Aquesta definició descriu bé les primeres equacions estudiades, que són de vegades la formulació matemàtica d'una pregunta de la vida corrent.

Aquesta definició fundada en una pregunta no és la més general: en geometria, l'equació de la circumferència no fa referència a una pregunta. Tanmateix, la forma continua sent la mateixa: una igualtat entre dues expressions, utilitzant dues variables generalment notades x i y.

Paràmetre

Al segle XVI, Viète, un matemàtic francès, troba un mètode per expressar de manera genèrica una família d'equacions. Per comprendre'n l'interès, s'il·lustra amb un exemple.

Exemple d'equació paramètrica.

La gràfica de la funció f és la paràbola dibuixada en blau a la figura, la de g1(x) la recta dibuixada en vermell, la de g-2(x) en violeta i la de g-1 en verd. Quin és el nombre de solucions reals de les equacions següents? $(1)\;x^{2}=2x+1,\;(2)\;x^{2}=2x-2\;{\text{et}}\;(3)\;x^{2}=2x-1$ Per trobar aquest nombre, es considera la funció f(x), que a x li associa x2, la gràfica de la qual és la paràbola representada a la recta en blau. La funció g1(x) associa a x el valor 2.x +1 (la recta vermella). Les solucions de l'equació són les abscisses de les interseccions de la paràbola amb la recta vermella, la representació gràfica mostra l'existència de dues solucions, ja que existeixen dues interseccions. Per a l'equació (2), es considera la funció g-2(x) que a x li associa 2.x -2 (la recta violeta). No troba la paràbola i l'equació no admet solució. Per tractar l'últim cas, es considera la funció g-1(x) que a x li associa 2.x -1 (la recta verda), és una recta paral·lela a la precedent i aquesta vegada existeix una única solució. Una manera global de resoldre aquestes tres qüestions és fer servir una lletra a que representa un nombre qualsevol. Les tres equacions precedents corresponen a la següent, si a és igual a 1, -2 o a -1: $(4)\quad x^{2}=2x+a$

L'equació (4) anterior s'anomena equació paramètrica i la lletra a designa el paràmetre. El seu ús permet estudiar les equacions per famílies.

Questions que sorgeixen a partir d'una equació

Demostrar l'existència d'una solució al problema isoperimètric, ses transforma en demostrar l'existència d'un cim sobre la figura. A cada parella (C, φ), s'associa l'àrea del triangle de perímetre 3, que conté un costat de longitud C i un angle adjacent a aquest costat igual a φ. Els matemàtics de l'antiguitat no disposaven d'eines per resoldre aquesta questió.

Les qüestions que sorgeixen en l'estudi d'una equació depenen de la seva naturalesa. En la imatge de l'equació precedent, algunes es defineixen amb l'ajuda d'una funció f : R —> R, és a dir del conjunt dels nombres reals en ell mateix. L'equació s'escriu f(x) = 0. De vegades es comença l'estudi per establir l'existència o no de solució a l'equació. El nombre de solucions ve donat per l'estudi de la funció f, aquest cas s'estudia en el paràgraf sobre els zeros d'una funció.

De vegades, és més simple començar per estudiar les propietats de la o de les eventuals solucions, sense preocupar-se per la seva existència. És el cas del problema isoperimétric del triangle. El problema consisteix en trobar el triangle de perímetre donat (es pren aquí el valor 3) de major àrea possible. Si T designa la desconeguda, aquí un triangle de perímetre 3, S(T) la funció que a un triangle li associa la seva àrea i m la fita superior de les superfícies dels triangles de perímetre 3, la traducció en forma d'equació del problema s'escriu:

$S(T)=m\;$

Des de l'antiguitat, els matemàtics saben que l'única resposta possible és el triangle équilater. En canvi, establir l'existència d'una solució és un problema més tècnic i fa ús d'eines desconeguts fins al segle XVIII. L'existència d'una solució està íntimament vinculada al conjunt en el qual es cerca aquesta solució. Si, en l'exemple escollit, aquest conjunt s'estén al dels polígons de perímetre 3, l'equació ja no admet solució. Per establir aquest resultat, es demostra al principi que una eventual solució seria necessàriament un polígon regular. Ara bé a mesura que el nombre de costats d'un polígon regular de perímetre donat augmenta, la seva àrea creix més; el que demostra l'absència de solució, ja que cap polígon regular no és d'àrea màxima.

La forma d'una solució depèn de les necessitats. L'equació que defineix el nombre d'or φ és: X² - X - 1 = 0. Per a un arquitecte, la forma més pragmàtica és una aproximació decimal com 1,618. En canvi, si l'objectiu és d'establir la fórmula que enllaça la successió de Fibonacci (u_n) amb φ:

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}\right)$

És indispensable una forma exacta com (1+ √5)/2. Com que el nombre d'or és irracional, no hi pot haver cap expressió exacta sense l'ajuda d'una funció auxiliar com l'arrel quadrada, ja que les quatre operacions i els nombres enters no permeten expressar més que racionals. L'aproximació de solucions és objecte de vastos estudis, que entren en un àmbit de les matemàtiques anomenat càlcul numèric.

Àlgebra

Teoria d'equacions

Article principal: Teoria d'equacions

La gràfica del mòdul del valor numèric del polinomi X⁵ - 3X + 2, mostra que pel capbaix admet quatre arrels (la cinquena no és pas visible a la gràfica), això il·lustra al teorema fonamental de l'àlgebra amb un cas particular.

La primera teoria d'equacions no fa referència més que les equacions polinòmiques, és a dir de la forma P(X) = 0 on P és un polinomi. Es basa en fer transformacions als membres de l'equació aplicant les cinc operacions «clàssiques» (addició, multiplicació, subtracció, divisió i extracció d'arrels) tant als coeficients de l'equació com a la seva incògnita.

Si el grau del polinomi és igual a 2 i si els coeficients i les solucions cercades són reals, llavors aquests mètodes permeten trobar les solucions, anomenades arrels tal com varen descobrir els matematics catalans a l'edat mitjana (vegeu l'article Equació de segon grau). L'ús de la tècnica del canvi de variable permet estendre la família d'equacions que es resolen, així, com il·lustra l'exemple e^2x - (e^a + e^b)e^x + e^a+b = 0, es resol posant X = e^x. Aquest mètode de canvi de variable no es limita a les equacions algebraiques.

Per anar més lluny i resoldre l'equació cúbica, és a dir, de tercer grau, els matemàtics italians del Renaixement varen descobrir la necessitat d'enriquir el conjunt dels nombres afegint-los els nombres imaginaris. Aquest descobriment permet la resolució de les equacions de tercer i quart grau (Veure els mètodes de Cardan i Ferrari).

El teorema fonamental de l'àlgebra estableix que tot polinomi de grau superior o igual a 1 i amb coeficients reals o complexos, admet pel cap baix una arrel complexa. Si bé aquest teorema assegura, en un cas molt general, l'existència d'una solució, no n'ofereix cap formulació explícita. El següent teorema, anomenat teorema d'Abel n'explica la raó: no existeix, en general, cap fórmula analoga a les que hi ha per equacions de grus més petits o iguals a quatre, capaç d'expressar les arrels. Aquest resultat, obra de Niels Abel, va ser completat per Évariste Galois que indica una condició necessària i suficient per determinar en quins casos les arrels d'una equació polinòmica posseeixen una expressió d'aquesta natura. La seva demostració fa servir la teoria de Galois.

Els dos teoremes precedents clouen la teoria d'equacions. Aquesta expressió encara era vigent en matemàtiques durant tot el segle XIX. Es manté en història de les ciències. Encara es fa servir en matemàtiques, però s'ha fet rara i una mica passada de moda.

Sistema d'equacions lineals

Article principal: Sistema d'equacions lineals

Els Nou Capítols sobre l'art matemàtic és un llibre anònim en xinès proposant un mètode de resolució de l'equació lineal.

Una altra família d'equacions que es tracta en àlgebra és la de les equacions lineals. Són les equacions de la forma (1) a(x) + b = 0, on a és una aplicació lineal d'un espai vectorial E en un espai vectorial F, b un vector de F i x una variable que petany al conjunt E. Si els espais E i F són de dimensió finita, notats n per a E i m per a F, la tria d'una base d'E i de F, permet expressar a en forma d'una matriu (a_jk), x en forma d'un vector columna amb n coordenades (x_k) i b la d'un vector columna amb m coordenades (b_j).

$\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)$

o el que és el mateix:

$(2)\quad \left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}\right.$

D'una equació (1) es passa a un sistema (2), de m equacions amb n desconegudes. Aquesta tècnica, consistent en passar d'una equació vectorial a un sistema de diverses equacions reals de diverses variables reals, no es limita al cas lineal.

Sota la forma (2), hi ha diversos algorismes que permeten trobar una arrel. Si n és igual a m i si el determinant de la matriu a és no nul, és possible fer servir la regla de Cramer. No és l'algorisme més eficient, el mètode del pivot és més simple i més rapid[22]. Significa aïllar els no variables amb l'ajuda d'una continuació de substitucions. Aquest mètode és antic, se'n troba un equivalent al capítol 8 del llibre xinès de matemàtiques titulat Els Nou Capítols sobre l'art matemàtic i datant d'abans del nostre ère. Consisteix en aïllar les n variables amb l'ajuda d'una successió de substitucions. Aquest mètode és antic, se'n troba un equivalent al capítol 8 del llibre xinès de matemàtiques titulat Els Nou Capítols sobre l'art matemàtic i datant d'abans de la nostra era. Al segle XIII Qin Jiushao va anar més lluny i va trobar com resoldre un sistema lineal amb congruències com a coeficients, per resoldre una qüestió vinculada a un «programa de repartiment de grans »..

Equació lineal i geometria

Article principal: Equació lineal

La géométrie permet de trouver des algorithmes de résolution de l'équation linéaire, plus rapides que la méthode du pivot de Gauss. La figure illustre le graphe en dimension 3, de la fonction f.

right|thumb|Cette figure illustre les courbes de niveaux en bleu de la fonction f. Les segments rouges et verts correspondent au trajet suivi par la suite approximante, qui converge en deux étapes en dimension 2. L'approche géométrique de l'équation linéaire offre des informations d'une autre nature. L'image d'une application linéaire a, c'est à dire l'ensemble des vecteurs qui admettent un antécédent par f forme un sous-espace vectoriel, comme l'est un plan dans un espace de dimension trois. Le noyau de a, c'est à dire les vecteurs de l'ensemble de départ ayant pour image le vecteur nul, est aussi un sous-espace. Ces résultats montrent que l'ensemble des solutions forme un espace affine de direction le noyau de a.

Le point de vue géométrique permet d'élaborer des algorithmes de résolution qui tiennent compte des spécificités de a. Dans certains cas particuliers, il existe des techniques qui permettent de trouver une solution plus rapidement qu'avec la méthode du pivot de Gauss. Un exemple correspond au cas où E est un espace euclidien égal à F et a est tel que l'application qui à x et y associe <-ax,y> soit un produit scalaire. Ici les crochets désignent le produit scalaire initial de l'espace E. Ceci implique que la matrice de a est de déterminant non nul et symétrique, si la base de E est choisie orthonormale.

Une méthode consiste à ne pas chercher à résoudre l'équation a.x + b = 0 mais à répondre à une autre question, d'apparence plus complexe. Elle revient à trouver le point optimal de l'expression qui à x associe f(x), défini par :

$\forall x\in E\quad f(x)={\frac {1}{2}}\langle ax,x\rangle +\langle b,x\rangle$

Son point optimal est la solution de l'équation linéaire. Pour comprendre la méthode de résolution, le plus simple est de représenter le cas où F est de dimension 2. Le graphe de f a alors la forme d'un pain de sucre, comme illustré sur la figure de gauche. Une méthode consiste à partir d'un point quelconque x₀ et à suivre la ligne de plus grande pente, illustrée en rouge sur les figures et qui correspond à une parabole à gauche et à un segment à droite. Le sommet de cette parabole est noté x₁. A partir du point x_{1, on suit à nouveau la ligne de plus grande pente, en vert sur les figures. Cette technique porte le nom de descente de gradient.}

Si, au lieu de suivre exactement le chemin de plus grande pente, on en choisit un de direction orthogonale aux directions précédentes pour le produit scalaire <-a.x,y>, la méthode converge vers la solution en un maximum de n étapes, si n désigne la dimension de E. Elle porte le nom de méthode du gradient conjugué.

Géométrie

Géométrie analytique

Article principal: Géométrie analytique

Une conique est toujours l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution.

En géométrie euclidienne, il est possible d'associer à chaque point de l'espace un jeu de coordonnées, par exemple à l'aide d'un repère orthonormé. Cette méthode permet de caractériser des figures géométriques à l'aide d'équations. Un plan dans un espace de dimension 3 s'exprime comme l'ensemble des solutions d'une équation du type a.x + b.y + c.z + d = 0, où a, b, c et d sont des nombres réels, x, y, z les inconnues qui correspondent aux coordonnées d'un point du plan dans le repère orthonormal. Les valeurs a, b et c sont les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire au plan défini par l'équation. Une droite s'exprime comme l'intersection de deux plans, c'est-à-dire comme les solutions d'une équation linéaire à valeurs dans R^{2 ou comme les solutions d'un système de deux équations linéaires à valeurs dans R, si R désigne l'ensemble des nombres réels. [[Fichier:Theoreme de Thales.svg|right|thumb|L'équation cartésienne offre une méthode simple de démonstration du théorème de Thalès relatif au cercle.]]}

Une conique est l'intersection d'un cône d'équation x² + y² = z² et d'un plan. Autrement dit, dans l'espace, toute conique est définie comme les points dont les coordonnées sont solutions d'une équation du plan dans R² et de l'équation précédente. Ce formalisme permet de déterminer les positions et les propriétés des foyers de la conique.

Avec cette approche, on obtient des équations dont l'objectif n'est pas l'expression des solutions au sens du paragraphe précédent. Un exemple est donné par le théorème de Thalès indiquant qu'un triangle est rectangle s'il possède un coté égal à un diamètre d'un cercle et un sommet opposé élément du cercle. Ce théorème est illustré sur la figure de droite. Si le repère est bien choisi, il est orthogonal et l'équation du cercle s'écrit : x² + y² = 1, les points A et C de la figure de droite ont pour coordonnées respectives (-1,0) et (1,0). Dire que AB est perpendiculaire à CB revient à dire que les vecteurs associés sont orthogonaux. L'équation du cercle permet de conclure la démonstration, en effet :

${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=\langle (x-1,y),(x+1,y)\rangle =(x+1)(x-1)+y^{2}=x^{2}+y^{2}-1=0\quad {\text{car}}\quad x^{2}+y^{2}=1$

L'usage d'une équation permet de faire appel à un nouveau pan des mathématiques pour résoudre des questions de géométrie. Le repère cartésien transforme un problème de géométrie en un problème d'analyse, une fois les figures étudiées traduites en équations ; d'où le nom de géométrie analytique. Ce point de vue, mis en évidence par Descartes, enrichit et modifie la géométrie telle que la concevaient les mathématiciens de la Grèce antique.

Actuellement, la géométrie analytique désigne une branche des mathématiques où la recherche est active. Si elle utilise toujours l'équation pour caractériser une figure, elle utilise aussi des outils sophistiqués issus de l'analyse fonctionnelle ou de l'algèbre linéaire

Équation cartésienne et paramétrique

Articles principals: Équation cartésienne i Équation paramétrique

Il existe au moins deux méthodes pour décrire une figure géométrique à l'aide d'équations. La première consiste à la décrire par une équation de la forme f(x) = 0, où f est une fonction de l'espace euclidien E de dimension n dans R^d où d est un entier plus petit que n. Si f est une fonction suffisamment régulière, n - d est la dimension de la figure géométrique. Si elle est égale à 1, la figure est une courbe, pour 2 on parle de surface etc... Une telle équation peut aussi s'écrire comme système de d équations à valeurs dans les réels exactement comme pour le cas de l'équation linéaire. Ce type d'équation est appelé cartésien si x est exprimé à l'aide de ses coordonnées dans un repère cartésien. Les équations décrites dans le paragraphe précédent sont toutes cartésiennes, comme celle du cercle d'équation x² + y² = 1.

Une autre méthode consiste à décrire la figure géométrique à l'aide d'une fonction f de R^d dans E de la manière suivante, un point m de E est élément de la figure lorsqu'il existe un point x de l'ensemble de définition de la fonction f tel que f(x) est égal à m. Dans ce cas, et sous réserve d'une régularité suffisante de f (il suffit que sa différentielle soit injective), la figure est de dimension d. On parle d'équation paramétrique de la figure géométrique, cette définition de l'équation est relativement éloignée de celle trouvée en algèbre. Exemple: [[Le cercle trigonométrique du plan euclidien admet pour équation paramétrique, de paramètre θ.

$\left\{{\begin{matrix}x&=&\cos \theta \\y&=&\sin \theta \end{matrix}}\right.$]]

Si la figure est suffisamment régulière, par exemple si elle correspond à une variété, au moins localement, il existe un paramétrage de la figure. Localement signifie que si m est un élément de la figure, il existe une fonction f et un voisinage V d'un point de l'ensemble de départ de f tel que l'image de f soit incluse dans la figure et tel que l'image de V par f soit un voisinage de m dans la figure. Localement, il est aussi possible de définir la figure à l'aide d'une équation cartésienne.

Arithmétique

Équation diophantienne

Article principal: Équation diophantienne

Après plusieurs siècles d'efforts de la communauté mathématique, c'est David Hilbert qui finit par résoudre l'équation diophantienne de degré 2.

Historiquement, les premières équations formalisées sont de nature arithmétique et datent du Plantilla:IIIe siècle. Si l'on recherche comme solution d'une équation, non pas un nombre quelconque, mais un nombre entier et si l'équation est à coefficients entiers, on parle d'équation diophantienne. Les méthodes décrites précédemment sont généralement insuffisantes pour conclure, des outils issus de l'arithmétique, ou au moins de l'arithmétique élémentaire sont indispensables. Un exemple relativement simple est celui linéaire à deux inconnues a.x + b.y = c.

Si le degré de l'équation augmente, la question devient beaucoup plus complexe. Même une équation de degré 2 n'est en général pas simple (voir par exemple le théorème des deux carrés de Fermat ou l'équation de Pell-Fermat). À condition d'ajouter d'autres méthodes, comme celle de descente infinie et de nouveaux résultats comme le petit théorème de Fermat, il est possible de résoudre quelques cas particuliers. Le cas général de l'équation de degré 2 demande l'usage d'outils plus sophistiqués, comme ceux de la théorie algébrique des nombres. Les ensembles de nombres sont enrichis, on utilise les corps finis et les entiers algébriques, qui s'étudient, comme pour l'équation algébrique, à l'aide de la théorie de Galois. Si l'équation algébrique de degré 2 est essentiellement résolue par Al-Khawarizmi, un mathématicien arabe du Plantilla:VIIIe siècle, il faut attendre la fin du Plantilla:XIXe siècle pour que David Hilbert vienne à bout de son équivalent diophantien. L'étude de l'équation diophantienne est souvent suffisamment complexe pour se limiter à établir l'existence de solutions et, s'il en existe, à déterminer leur nombre.

Un vaste domaine d'application des équations diophantiennes est l'informatique. Les outils issus de leurs études permettent de concevoir des codes correcteurs et sont à la base d'algorithmes en cryptologie. Il existe des équations diophantiennes qui s'écrivent simplement, mais qui demandent des temps de traitement prohibitifs pour les résoudre, elles sont à la base de codes secrets. Par exemple, l'équation n = x.y, où n est un entier naturel fixé est où x et y sont les inconnues, n'est pas résoluble en pratique, si n est le produit de deux nombres premiers suffisamment grands. Cette équation est à la base du code RSA.

Nombre algébrique et transcendant

Articles principals: Nombre algébrique i Nombre transcendant

Lindemann montre qu'aucune équation polynomiale à coefficients entiers admet π comme racine.

Au lieu de se demander quels nombres sont solutions d'une équation donnée, on peut considérer le problème inverse : de quelles équations un nombre donné est-il solution ? Un nombre est dit rationnel s'il est solution d'une équation du premier degré à coefficients entiers. Il est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. S'il n'est pas algébrique il est dit transcendant. Ainsi, pour un nombre donné, l'objectif est de trouver les éventuelles équations polynomiales dont ce nombre est racine (voir l'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique).

Par exemple pour √2, la question se pose de savoir s'il est possible de construire une équation du premier degré ayant cette valeur pour racine. Elle se résout simplement : si une telle équation existe, on en déduit l'expression 2.a² = b², où a et b sont des nombres entiers. L'analyse de la décomposition en facteurs premiers montre que le terme de droite contient le facteur 2 un nombre pair de fois et celui de gauche un nombre impair. Cette remarque démontre que √2 n'est pas un nombre rationnel. En revanche, il est par définition algébrique, car solution de l'équation X² - 2 = 0.

La même question pour le nombre π est plus délicate. Pour montrer que ce nombre n'est solution d'aucune équation du premier degré à coefficients dans les nombres entiers, on utilise des fractions continues (Une démonstration est proposée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne). Les techniques sont plus sophistiquées que celles utilisées pour démontrer l'irrationalité de √2. Alors que ce premier résultat est déjà connu à l'époque d'Euclide, il faut attendre le Plantilla:XVIIIe siècle pour établir celle de π.

Si montrer que π n'est pas solution d'une équation du premier degré à coefficients dans les entiers n'est déjà pas si simple, il est encore plus ardu de montrer qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Il faut encore plus d'un siècle d'efforts pour établir cette transcendance. Elle clôt une vieille question, à savoir s'il est possible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un cercle, cette question porte le nom de quadrature du cercle. Elle est impossible car toute construction de cette nature définit une surface d'aire égale à un nombre algébrique.

Géométrie algébrique

Article principal: Géométrie algébrique

• Genre de quelques surfaces orientables
• 
  genre 0
• 
  genre 1
• 
  genre 2
• 
  genre 3

Résoudre une équation diophantienne polynomiale n'est pas toujours possible avec les seuls outils de la théorie algébrique des nombres. Avec ce type de méthode, Ernst Kummer parvient à résoudre, au milieu du Plantilla:XIXe siècle, presque tous les cas inférieurs à 100 de la célèbre équation dénommée dernier théorème de Fermat, mais le cas général reste hors de portée.

La géométrie, et plus précisément la géométrie algébrique, est nécessaire pour conclure. L'équation du dernier théorème de Fermat s'écrit de la manière suivante xⁿ + yⁿ = zⁿ. Quitte à étudier les solutions dans les nombres rationnels, on peut diviser par zⁿ et écrire l'équation qⁿ + rⁿ = 1. Si q et r sont choisis dans les nombres complexes, notés ici C, géométriquement, cette équation correspond à une figure de C², on encore à une surface réelle dans un espace de dimension 4. Vue dans l'espace projectif de C², on obtient une surface réelle, plongée dans un espace compact dont la visualisation n'est pas intuitive. Il suffit de connaître les points rationnels de cette surface pour permettre de conclure sur les solutions du théorème de Fermat.

La topologie offre des éléments de réponse pour cette équation. Une surface de cette nature possède un genre. Topologiquement, elle est équivalente à une sphère (genre 0), à un tore (genre 1) ou à une figure comportant n trous (genre n). Dans le cas d'une variété algébrique, définie par une équation du type P(X, Y), où P est un polynôme à coefficients rationnels, le genre de la variété est une indication sur le nombre de solutions. Ce résultat, qui porte le nom de théorème de Faltings, est de la même famille d'outils que ceux utilisés pour la démonstration du théorème de Fermat.

Analyse

Zéro d'une fonction

Article principal: Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction

Plantilla:Triple image En analyse plus encore, il sera bien souvent vain d'espérer traiter une équation par des techniques élémentaires de substitution ou transformation, en espérant isoler la variable. Et même quand cela s'avère possible, comme pour certaines équations algébriques, si l'objectif est l'obtention d'une valeur numérique, l'approche décrite dans ce paragraphe souvent moins coûteuse. On peut toujours ramener l'équation à une forme f(x) = 0. Considérons par exemple l'équation suivante, l'inconnue étant un réel strictement positif :

$\sin(x)=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)$

Elle se réécrit f(x) = 0 si on pose f(x) = sin(x) + 1/2ln(x). Un zéro est une solution de l'équation dans ce cas particulier. Il serait vain de chercher à exprimer un zéro par une formule composant des fonctions élémentaires (fractions rationnelles, fonctions exponentielles, logarithmiques ou trigonométriques...). Une telle expression n'existe pas ici. On se contentera de chercher le nombre de zéros, des intervalles les contenant, ainsi que des approximations de ces zéros.

Dans l'exemple, l'étude de la fonction f montre facilement qu'il y a exactement trois zéros, un dans l'intervalle ]0, 1], un dans [3, 4] et le dernier dans [5, 6]. La continuité de f permet de construire une première suite (x_n) convergeant vers le zéro de l'intervalle ]0, 1]. Au voisinage de 0, la fonction est strictement négative, au point 1, elle est strictement positive, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un zéro dans cet intervalle, car f est continue. On pose x₀ = 0, au point 1/2, la fonction f est strictement positive, on en déduit l'existence d'un zéro dans l'intervalle [0, 1/2] et on pose x₁ = 0. Au point 1/4, elle est strictement négative, on en déduit l'existence d'un zéro dans [1/4, 2/4] et on pose x₂ = 1/4 et ainsi de suite. On construit ainsi une suite convergeant vers la solution, ce qui permet d'obtenir une approximation aussi précise que souhaitée. Cette méthode porte le nom de dichotomie et est la première illustrée dans la figure du paragraphe.

Seule la continuité de f a été utilisée dans l'algorithme précédent, un théorème du point fixe est à la base d'une méthode plus efficace. On construit une fonction g (en rouge sur la figure du milieu) ayant pour point fixe (c'est-à-dire un point x tel que g(x) = x) la solution recherchée. On choisit g de telle manière à ce que la dérivée au point fixe soit la plus petite possible. Une solution simple est de définir g(x) = x + λ.f(x). Dans l'exemple, on peut choisir λ égal à -1/2. Cette fois-ci, il est plus judicieux de choisir x₀ égal à 1. On définit x_n = g(x_n-1). Si la dérivée de g est proche de 0, la convergence est bien meilleure que celle de l'algorithme précédent. Dans l'exemple choisi, la solution est égale à 0,43247... La quatrième itération de la première méthode donne pour valeur 0,375 alors que celle issue du point fixe donne 0,4322...

La dérivabilité de f partout sur son domaine permet la mise au point d'un algorithme ayant une convergence encore meilleure. La méthode consiste, à partir d'un point x₀, égal à 1 dans l'exemple, à trouver la solution x₁ de l'équation linéaire tangente de la fonction f au point x₀. Puis on construit x₂ comme la solution de l'équation linéaire tangente de la fonction f au point x₁. Dans l'exemple étudié, illustré sur la figure de droite, la valeur de x₄ est égale à 0,43246 soit quatre décimales exactes. Cette méthode porte le nom de Newton.

Équation vectorielle

Article principal: Système d'équations

La méthode de descente du gradient s'applique à toute équation d'un espace vectoriel de dimension finie et à valeurs dans les nombres réelles. Elle est illustrée ici à l'aide d'une représentation en courbes de niveaux

Si l'équation prend la forme f(x) = 0 où f est une fonction d'un espace vectoriel E à valeurs dans un espace vectoriel F dont le vecteur nul est noté 0, les idées de l'algèbre linéaire peuvent encore s'appliquer partiellement. Il est possible de choisir une base de E et de F et d'exprimer f à l'aide de m fonctions f_j réelles de n variables x_k, où m est la dimension de F et n celle de E, on obtient ce que l'on appelle un système d'équations, de la forme suivante :

$\quad \left\{{\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\cdots x_{n})=0\\f_{2}(x_{1},\cdots x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\cdots x_{n})=0\end{matrix}}\right.$

Cette représentation correspond à la même équation que celle représentée à gauche, mais cette fois-ci en dimension 3.

Les mêmes limitations que celles décrites au paragraphe précédent s'appliquent. Il est tout à fait possible que la technique d'isolation des variables, qui fonctionne dans le cas de l'équation linéaire, ne soit pas possible, par exemple si les f_i contiennent des expressions trop complexes. Certaines des idées, exprimées dans le cas où f est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles, peuvent s'adapter à la géométrie d'un espace vectoriel de dimension finie, d'autres non. Il n'existe pas d'équivalent du théorème des valeurs intermédiaires pour la nouvelle configuration. En revanche, le théorème du point fixe se généralise, ainsi que la définition d'une dérivée.

La dérivée, ou plutôt la différentielle de f peut être utilisée de plusieurs manières. La première est une simple adaptation de la méthode de Newton, à partir d'un point x₀, on résout l'équation linéaire tangente en ce point, c'est-à-dire Df_x0.h + f(x₀) = 0. La valeur x₁ est égale à x₀ + h et l'on réitère le processus pour obtenir une suite. Si E est égal à F et pour permettre une convergence plus rapide, on résout souvent une équation linéaire analogue, mais dont l'application linéaire associée définit un produit scalaire. Cette astuce permet une accélération du temps de traitement de la résolution des équations linéaires intermédiaires, la méthode associée porte le nom de quasi-Newton.

Une autre méthode consiste à transformer l'ensemble d'arrivée en R₊, par exemple en équipant F d'un produit scalaire et en recherchant les zéros de la fonction g à valeurs réelles, qui à x associe le carré de la norme de f(x) ou encore le produit scalaire de f(x) avec x, si E est égal à F. Les deux équations f(x) = 0 et f(x)² = 0 possèdent les mêmes solutions. Le problème revient à trouver un extremum de la nouvelle fonction g. On part d'un point x₀ dans la direction de la ligne de plus grande pente, dont la direction est donnée par le gradient et on s'arrête au point x₁, le minimum de la fonction g dans la direction du gradient. Puis on réitère le calcul.

Analyse fonctionnelle

Article principal: Analyse fonctionnelle (mathématiques)

L'aérodynamisme d'un objet volant est régi par une équation qui s'étudie à l'aide de l'analyse fonctionnelle. Des outils puissants tels que l'espace de Hilbert sont nécessaire pour établir quelques théorèmes généraux.

Si l'espace vectoriel E est plus vaste et n'est plus de dimension finie, d'autres idées doivent être utilisées pour venir à bout de l'équation. Cette configuration se produit si l'inconnue x désigne une fonction. Une fois encore, il est vain de rechercher des méthodes systématiques exprimant les solutions sous la forme d'une composition de fonctions élémentaires, les cas où une telle expression existe correspond plus à l'exception qu'à la règle.

Une méthode générale consiste associer à un espace de fonctions H_p, comme celui des fonctions continues définies sur un intervalle [a, b], une géométrie. Pour ce faire, on peut définir sur l'espace une distance euclidienne, c'est à dire définie par un produit scalaire comme celui qui, à deux fonctions f et g de H_p associe :

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(\mu )g(\mu )\mathrm {d} \mu$

A l'aide de cette distance, on construit une suite (x_n) de fonctions qui vérifie la propriété de Cauchy, c'est à dire que si les indices n et m sont suffisamment grands x_n et x_m sont arbitrairement proches. Un exemple est donnée par l'équation intégrale, dite de Fredholm :

$(1)\quad F(x)=g\quad {\text{avec}}\quad F:x\rightarrow F_{x}(t)=\int _{a}^{b}K(t,\mu )\,x(\mu )\mathrm {d} \mu$

La suite (x_n) est construite de telle manière à ce que la distance entre les fonctions F_xn(t) et g(t) tende vers zéro. La difficulté est qu'une suite de Cauchy ne converge pas nécessairement dans H_p, ce qui revient à dire que cet espace n'est pas complet. Il est alors plongé dans un espace H qui le contient et qui lui, est complet. Un élément de H n'est plus une fonction, il peut être vue comme un élément du dual de H_p. Dans H, la suite (x_n) converge vers une limite s. Elle peut être interprétée comme une solution de l'équation (1) car la distance entre F(s) et g est nulle. Mais s n'est pas une fonction, c'est un être abstrait, élément du dual de H_p, on parle de solution faible. On montre enfin que cette être abstrait s'identifie à un élément de H_p, c'est à dire une à fonction qui vérifie l'équation (1), appelée solution forte.

Systèmes dynamiques

Introduction

Article principal: Système dynamique

Une fois connues la vitesse et la position d'une comète en un instant t, la résolution d'une équation différentielle permet de déterminer sa trajectoire exacte.

La physique est à l'origine d'équations fonctionnelles particulières : les systèmes dynamiques. Un exemple historiquement célèbre, est issu de la loi universelle de la gravitation. Si l'on néglige l'attraction due aux autres planètes, l'accélération de la Terre est dirigée vers le soleil et son intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les deux astres. Cette loi physique se traduit par une équation qui, une fois connues la position et la vitesse initiales de la Terre, donne sa trajectoire, c'est-à-dire sa position en fonction du temps. Historiquement, la capacité à prévoir la position exacte des comètes au Plantilla:XVIIIe siècle fut une confirmation de la théorie de Newton.

Un système qui évolue et dont une équation permet de connaître exactement son état au cours du temps, à la condition de connaître son état initial, est qualifié de dynamique. On peut les classer en trois grandes catégories. La formulation la plus simple est dite discrète, l'état du système est décrit à différentes étapes, notées par les entiers 0, 1, 2 ...,  k, ... et la solution est une suite (u _k). Ce type de système est utilisé pour simuler un comportement continu, en discrétisant le temps à l'aide d'intervalles suffisamment petits pour que l'imprécision engendrées par cette méthode reste dans des limites acceptables. Connaître la trajectoire exacte d'une comète suppose la prise en compte de l'attraction de tous les corps célestes du système solaire. Résoudre l'équation dans ce cas devient difficile, on peut alors supposer qu'en une seconde, la gravité est presque constante, la trajectoire de la comète est presque parabolique et sa position au bout d'une seconde se calcule aisément, une fois connue la position des différents corps célestes massifs comme les planètes ou le soleil. Ensuite, il suffit de recalculer, à chaque seconde, la nouvelle attraction pour obtenir une suite donnant une approximation de la trajectoire réelle. Si (p _k, v _k) désigne le couple position et vitesse de la comète à la seconde k, il existe deux fonctions f et g régissant l'équation :

$p_{n}=f(p_{n-1},v_{n-1})\quad {\text{et}}\quad v_{n}=g(p_{n-1},v_{n-1})$

On obtient des suites définies par récurrence, caractéristique d'un système dynamique discret.

Il est aussi possible de s'y prendre autrement. Une relation lie la position de la comète avec sa vitesse instantanée (que l'on appelle dérivée en mathématiques) et son accélération (ou dérivée seconde). Résoudre l'équation permet de trouver la trajectoire de notre planète. L'équation prend une forme de la nature suivante, appelée équation différentielle :

$f\left(t,p(t),{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}(t),{\frac {\mathrm {d} ^{2}p}{\mathrm {d} t^{2}}}(t)\right)=0$

Enfin, l'objectif peut être de déterminer l'état d'un objet qui ne se traduit non pas par un vecteur d'un espace de dimension finie, mais par une fonction, comme l'état d'une corde vibrante. On parle d'équation aux dérivées partielles.

Équation différentielle

Article principal: Équation différentielle

Tracé d'une solution d'une équation différentielle (bleu) de la forme x' = φ(x), la fonction φ est illustrée en vert.

La lettre x désigne ici une fonction de la variable réelle et f une fonction de n + 1 variables réelles. Soit F la fonction qui à x associe la fonction t —> f(t, x(t), x'(t), x⁽²⁾(t),..., x⁽ⁿ⁾(t)), où x^(k) la dérivée k^ième de la fonction x. On considère l'équation F(x) = 0. Une telle équation est appelée équation différentielle.

Les solutions sont, en général, étudiées sous la , c'est-à-dire associées à des valeurs t₀ ,ξ₀ ,ξ₁,... ,ξ_n-1 telles qu'une solution vérifie :

$f(t,x,x',\cdots ,x^{(n)})=0\quad {\text{avec}}\quad x(t_{0})=\xi _{0},\;x'(t_{0})=\xi _{1},\cdots ,x^{(n-1)}(t_{0})=\xi _{n-1}$

La situation est un peu analogue à celle des équations polynomiales. Il existe une théorie des équations différentielles. Un premier résultat global est le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit que, si f est une fonction lipschitzienne, il existe une unique solution au problème de Cauchy. Résoudre le problème de Cauchy consiste à déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée. Dans certains cas particuliers, il est possible d'expliciter directement une solution, comme pour l'équation différentielle d'ordre un à variables séparées ou l'équation différentielle linéaire, mais pas toujours.

L'exemple de droite illustre une solution d'une équation de la forme x' = φ(x), où la solution recherchée est une fonction définissant une courbe du plan. Sa variable est réelle et elle est à valeurs dans R². La fonction φ est une fonction continue de R² dans lui-même. À chaque point du plan, elle associe un vecteur, elle est dite champ vectoriel. Une solution s possède la propriété d'avoir, pour chaque point p de son image, une tangente à sa courbe de direction φ(p). La vitesse scalaire à l'instant t est égale à la norme de l'image par φ du point s(t).

Équation aux dérivées partielles

Article principal: Équation aux dérivées partielles

left|thumb|L'équation régissant la surface de la mer est une équation aux dérivées partielles. La physique propose divers exemples où la solution recherchée ne dépend pas d'une mais de plusieurs variables. Un cas relativement simple est celui d'une onde sur une corde vibrante. La fonction décrivant sa position dépend de deux paramètres, le temps et une coordonnée pour décrire un point de la corde. Trois variables sont nécessaire pour décrire une vague, deux décrivent la position d'un point de la surface et la troisième le temps. En physique quantique, la relation fondamentale de la dynamique se traduit par une équation d'onde qui nécessite quatre variables, trois pour l'espace et une pour le temps. Ce principe fondamental est appelée équation de Schrödinger.

L'équation équivalente à celle du paragraphe précédent, pour une fonction x de plusieurs variables, porte le nom d'équation aux dérivées partielles. L'équivalent du problème de Cauchy s'exprime de manière plus complexe. la condition initiale est remplacée par les conditions aux limites. Dans certains cas on recherche comme solution une fonction définie sur Ωx[a, b] ou Ω est un ouvert que l'on suppose borné, connexe et dont la frontière ∂Ω est régulière, [a, b] est un intervalle qui représente le temps . Les conditions aux limites s'expriment sous forme de deux contraintes. L'une correspond à la valeur ou la limite de la fonction sur ∂Ωx]a, b[. La fonction modélisant les mouvements d'une membrane de tambour est constante à la limite de la membrane, cette contrainte est appelée la condition aux limites de Dirichlet. Les valeurs de la fonction sur Ωx{a} sont appelées la condition initiale ou donnée de Cauchy.

En météorologie, la prévision numérique du temps consiste à modéliser les mouvements de l'atmosphère terrestre par l'équation de Navier-Stokes. Une difficulté pratique est de déterminer précisément la donnée de Cauchy : il faudrait mesurer la température, la pression, le taux d'humidité etc en tout point de l'atmosphère. Cette difficulté, ajoutée au fait qu'on ne sache pas résoudre l'équation de Navier-Stokes, font que les méthodes de résolution utilisées sont numériques : on ne peut calculer que des valeurs approchées.

Certaines équations aux dérivées partielles ne sont pas aussi complexes. Fourier, un mathématicien du début du Plantilla:XIXe siècle avait trouvé comment la chaleur se diffuse dans un corps solide dans le cas de conditions aux limites simples. La spécificité de cette équation, comme celle décrivant les ondes se propageant sur une corde vibrante est d'être linéaire, c'est-à-dire que l'on peut la mettre sous la forme a(x) + b = 0, où a est un opérateur linéaire construit à l'aide de dérivées partielles et b une fonction particulière. Le cas linéaire est traité par une théorie . L'outil principal est un espace fonctionnel particulier, dit de Sobolev.

D'autres équations restent difficiles d'accès. La surface d'un océan est aussi modélisée par une équation aux dérivées partielles. Comme le laisse penser la forme d'une vague, l'expression d'une solution peut s'avérer difficile. On est loin de disposer d'une théorie générale, les deux paragraphes suivant indiquent le type de difficulté à résoudre pour comprendre les systèmes dynamiques.

Condition initiale

[[Fichier:Julia set (highres 01).jpg|thumb|220px|left|La frontière d'un ensemble de Julia est très généralement un fractal.]] Une des questions qui se pose sur les systèmes dynamiques est la nature de la solution en fonction de sa valeur initiale. Si une petite modification de cette valeur change de manière importante le comportement de la solution, même si le système est déterministe, son évolution semblera aléatoire. Déterministe signifie que toute évolution du système dépend uniquement de sa valeur initiale, sa connaissance parfaite permet de prévoir parfaitement son futur, ce qui est toujours le cas d'un système dynamique. En physique, il est impossible de connaître parfaitement l'état initial du système. On le connaît, par exemple avec une précision de 5 décimales, si la sixième décimale finit par modifier l'évolution du système de manière significative, le futur de l'évolution n'est pas parfaitement connu, mais dépend d'une information inaccessible et le futur apparaît comme incertain, même si les lois modélisant l'évolution sont déterministes. Ce phénomène se produit en météorologie, cette science est modélisée par un système dynamique qui, pour permettre une prévision sur le long terme, demande une connaissance précise de l'état initial. Comme cette connaissance est d'une précision limitée, il existe un horizon dans la prévision. Si l'équation modélisant la météorologie est bien connue, on ne sait toujours pas si les solutions dépendent continûment de valeurs aux bornes du domaine de la solution (l'équivalent de la condition initiale pour une équation aux dérivées partielles), cette question est associée à l'un des sept prix de un million de dollars offerts par l'Institut de mathématiques Clay au premier qui apportera la réponse.

Une méthode pour apporter des éléments de réponse, est d'étudier les cas les plus simples possibles. On cherche à comprendre ce phénomène sur une suite récurrente définie par l'équation : x_n+1 = f(x_n) où f est un polynôme du second degré, réel ou complexe. Un cas très étudié est celui où f(x) = x^{2 + c. La condition initiale est ici la valeur de x₀, un nombre complexe. J_c est l'ensemble des conditions initiales telles que la suite est bornée, il est appelé ensemble de Julia, dont un exemple est illustré sur la figure de gauche. Toute condition initiale p hors de la frontière de J_c possède un voisinage ne contenant que des conditions initiales dont le comportement des suites sont qualitativement analogues. Les couleurs indiquent les valeurs de convergence, l'intensité symbolise la vitesse de convergence.}

Une première question qui se pose est le poids de la zone frontière. Sur cette zone, il existe toujours une perturbation de la condition initiale, aussi minime soit-elle, qui modifie la nature de la solution. Dans les configurations classiques, une frontière d'une figure géométrique de dimension 2 est d'aire nulle, même si la figure possède une aire strictement positive. Ainsi, un disque de rayon strictement positif est d'aire strictement positive et sa frontière, un cercle de même rayon, est d'aire nulle. En revanche, le cercle, considéré comme une courbe, possède une longueur finie. Pour la frontière de l'ensemble de Julia, cette méthode s'avère parfois inopérante, on peut trouver une longueur infinie, si la frontière est considérée comme une courbe. Pour évaluer le poids de cette longueur, on utilise une remarque géométrique. Soit S une surface d'aire s, l'homothétie de rapport 2 appliquée à S, définit une nouvelle surface d'aire 2².s. Si V est une figure géométrique de dimension 3 et de volume v, l'homothétie de rapport 2 définit une figure de volume 2³.v. L'exposant que l'on applique au rapport de l'homothétie indique la dimension de la figure, ce qui, d'une certaine manière permet une évaluation du poids de la figure, on parle de dimension de Hausdorff ou de dimension fractale. Cette technique peut être appliquée à la frontière de l'ensemble de Julia, sa dimension est génériquement différente de un : la frontière est dite fractale.

Chaos

Article principal: Théorie du chaos

Une suite récurrente, même définie de manière simple, permet de voir l'apparition d'un phénomène chaotique.

La sensibilité à la condition initiale n'est pas l'unique question à résoudre pour élaborer une théorie générale des systèmes dynamiques. On souhaite aussi connaître le comportement limite du système, encore appelé comportement asymptotique, c'est-à-dire ce qu'il se passe une fois que l'on a attendu que le système se stabilise. S'il ne diverge pas, on peut classer son comportement en trois catégories, soit le système s'immobilise, soit il tend vers un cycle, soit vers encore autre chose qui, selon certaines définitions, est appelée chaos.

Une fois encore, il est utile de considérer le système dynamique le plus simple possible, pour comprendre au moins qualitativement les mécanismes en jeu. Comme précédemment, on utilise une suite récurrente définie par un polynôme du second degré P_r, cette fois-ci réel à valeurs réelles. La suite logistique est définie par récurrence : x_r,n+1 = r.x_r,n.(1 - x_r,n). L'un des charmes de cette suite est que son comportement est relativement indépendant de la condition initiale si elle est choisie entre 0 et 1.

[[Fichier:Airplane vortex edit.jpg|thumb|left|Les turbulences générées par les masses d'air autour d'une aile d'avion en mouvement sont chaotiques.]] L'objectif est d'augmenter la valeur de r, initialement nulle et d'étudier ce comportement asymptotique. Si une fonction f possède un point fixe p_f, de dérivée strictement comprise entre -1 et 1, en valeur absolue, et si la suite définie par x_n+1 = f(x_n) prend une valeur proche de ce point fixe, elle converge vers p_f. Ce point est dit attracteur et la zone des valeurs initiales dont les suites convergent vers ce point est appelée bassin d'attraction. Pour une suite logistique le bassin d'attraction principal contient toujours ]0, 1[, à un ensemble négligeable près, quelle que soit la valeur de l'attracteur. La suite semble être attirée, comme par un aimant vers cet attracteur. Si r est compris entre 0 et 3, l'attracteur est un point et la suite converge. A partir de la valeur 3, le polynôme P_r ne possède plus de point fixe, mais le polynôme composé avec lui-même, en possède un, si r est suffisamment petit. Le comportement asymptotique de la suite est une oscillation entre les deux points fixes attractifs de P_r². La valeur 3 de r est appelée une bifurcation. L'attracteur devient un ensemble à deux éléments, illustré sur la figure de droite. Au point 1+√6, une nouvelle bifurcation se produit, l'attracteur possède alors 4 points. Le cardinal de l'attracteur augmente de plus en plus en fonction de r par des doublements, jusqu'à atteindre une valeur infinie pour r égale à μ, qui se situe aux alentours de 3,57.

Il devient nécessaire de préciser ce qu'on entend par « attracteur » : ce sera l'intersection des ensembles A_n où A_n est l'adhérence des points x _k pour k supérieur à n. Dans le cas de la suite logistique et à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, l'attracteur est indépendant de la condition initiale. On peut voir l'attracteur A_r comme un ensemble qui attire les éléments de la suite, laquelle, à partir d'un certain rang, devient arbitrairement proche de A. Entre μ et 4, un triple comportement est possible. Pour un ensemble H (pour hyperbolique) de valeurs du paramètre r qui est un ouvert dense de [μ, 4], l'attracteur est un ensemble fini (comportement cyclique). Pour un autre ensemble C (pour chaotique) de valeurs du paramètre, qui est lui fermé, totalement discontinu et de mesure strictement positive, pour presque toutes valeurs initiales x₀ (dépendant de r) l'attracteur est un intervalle d'intérieur non vide et le comportement est chaotique, c'est à dire qu'il évolue sans ordre apparent, à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, semblant évoluer au gré du hasard, même si cette évolution est en fait déterministe. Le dernier comportement se produit sur l'ensemble A, complémentaire de l'union de C et de H dans [μ, 4]. L'ensemble A n'est pas vide, le comportement est alors plus complexe et fait intervenir, comme attracteur, des ensembles de Cantor. Depuis 2002, on sait que A est de mesure nulle.

Ce comportement s'applique aussi aux équations différentielles ou aux dérivées partielles. Edward Lorenz a trouvé une équation différentielle relativement simple, ayant un attracteur fractal, généralement qualifié d'étrange, il est représenté sur la deuxième illustration de cet article. Certaines équations différentielles ne peuvent avoir de solutions si complexes, le théorème de Poincaré-Bendixson montre une famille d'équations n'ayant pas de comportement chaotique. Des solutions chaotiques complexes apparaissent aussi dans les équations aux dérivées partielles, on les trouve dans les modélisations des mouvements des masses d'air, par exemple autour des ailes d'avion, elles prennent la forme de turbulences. En 2009, l'état des mathématiques est loin d'être capable de présenter une condition nécessaire et suffisante générale, indiquant si oui ou non un comportement chaotique apparaît, même dans le cas des systèmes discrets.

Voir aussi

Bibliographie

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Liens externes

• Équation mathématique de l'Encyclopaedia Universalis
• Équations de l'Encyclopédie Encarta
• J. Y. Briend Le théorème fondamental de l’algèbre Université de Provence Aix Marseille
• La naissance de la géométrie analytique : la Géométrie de Descartes (1637) IREM de Rennes
• D. Richard Algorithme d'Euclide et équation diophantienne Université de Clermont1
• P. Fradin Résolution approchée d'équations Extrait d'un cours de MPSI
• A. Chambert-Loir Autour de la méthode de Newton Université de Rennes I
• J. P. Louvet Dimension fractale par l'Université de Bordeaux I
• D. Perrin La suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay

Références

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ca:Equació