Distribució beta variada matricial

Distribució beta variada matricial

Tipus	Distribució de Dirichlet variada matricial
Notació	${\rm {B}}_{p}(a,b)$
Paràmetres	$a,b$
Suport	$p\times p$ matrius amb totes dues $U$ i $I_{p}-U$ definida positiva
fdp	$\left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.$
FD	${}_{1}F_{1}\left(a;a+b;iZ\right)$

En estadística, la distribució beta variada matricial és una generalització de la distribució beta. Si $U$ és un $p\times p$ matriu definida positiva amb una distribució beta variada matricial, i $a,b>(p-1)/2$ són paràmetres reals, escrivim $U\sim B_{p}\left(a,b\right)$ (de vegades $B_{p}^{I}\left(a,b\right)$). La funció de densitat de probabilitat per a $U$ és:

$\left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.$

Aquí $\beta _{p}\left(a,b\right)$ és la funció beta multivariada:

$\beta _{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}$

on $\Gamma _{p}\left(a\right)$ és la funció gamma multivariada donada per

$\Gamma _{p}\left(a\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-(i-1)/2\right).$

Distribució de la matriu inversa

Si $U\sim B_{p}(a,b)$ llavors la densitat de $X=U^{-1}$ està donada per

${\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}$

sempre que $X>I_{p}$ i $a,b>(p-1)/2$.