Vés al contingut

Distribució de probabilitat

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Una funció de distribució normal, coneguda pel nom de «campana de Gauss» en honor de Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
Percentatges de probabilitat a la distribució normal.

En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a , . Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribució d'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.

Definició 1

[modifica]

Molts autors [1][2] utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general , on és un conjunt arbitrari i és una família de subconjunts d' que té estructura de -àlgebra:

  1. .
  2. Si , llavors, , on designa el complementari del conjunt .
  3. Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments, , aleshores .

En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació que compleix

  1. .
  2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,, disjunts dos a dos: si , tenim

Per a molts autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general .

Definició 2

[modifica]

Per a d'altres autors,[3] distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals o sobre .

Per a d'altres autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat sobre l'espai mesurable on és la -àlgebra de Borel sobre , .

Exemples

[modifica]

1. Una distribució de probabilitat normal estàndard ve donada per En particular, per a l'interval té probabilitat 2. Una distribució de probabilitat binomial de paràmetres i és la probabilitat determinada per: i si . Aleshores, per a qualsevol ,

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.

Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat a Rn

[modifica]

Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre :[4] una mesura es diu que és

  • discreta si existeix un conjunt finit o numerable tal que , on és el complementari del conjunt .
  • contínua si per a qualsevol .
  • singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt tal que i on és la mesura de Lebesgue a .
  • absolutament contínua (respecte la mesura de Lebesgue) si per qualsevol conjunt tal que , tenim que .


Quan és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que és purament discreta (resp. purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; la distribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que és purament contínua singular.
Descomposició de mesures. [4] [5] Existeixen tres mesures, discreta, contínua singular i absolutament contínua, tals queAquestes mesures són úniques. La mesura (respectivament i ) s'anomenen la part discreta (resp. part contínua singular i part absolutament contínua) de . La mesura s'anomena la part contínua de . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, si és discreta, aleshores i .
Finalment, d'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si és -finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funció mesurable tal que La funció s'anomena la funció de densitat de .
Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat a . Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitat sobre és una distribució discreta si existeix un conjunt finit o numerable tal que . O que és una distribució singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt tal que i .

Funcions de distribució unidimensionals

[modifica]

Sigui una probabilitat sobre . La seva funció de distribució és la funció definida per: Té les següents propietats:[6]

(a) és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si aleshores .
(b) és contínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevol .
(c)

Per posterior us, és convenient observar que, si , atès que

tenim que

Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.

Donada una funció de distribució podem construir una distribució de probabilitat a definint-la primer sobre els intervals de la forma : i estenent-la a tot [7] per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim

Equivalència entre distribucions de probabilitat a i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat a i les funcions de distribució.

Exemples

[modifica]

1. Distribució normal estàndard: La funció de distribució és És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.

2. Distribució de probabilitat binomial de paràmetres i : la funció de distribució és una funció esglaonada:

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc

[modifica]

Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.

Distribució o llei d'una variable aleatòria

[modifica]

Sigui un espai de probabilitat i una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de , o senzillament, distribució de , o llei de és la probabilitat a definida per La funció de distribució de s'anomena la funció de distribució de , i ve donada per

Funció de distribució d'una variable aleatòria. Donada una variable aleatòria , la seva funció de distribució és la funció definida per

Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui una variable aleatòria amb funció de distribució >> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:[8]

Donada una funció de distribució , existeix un espai de probabilitat i una variable aleatòria tal que la seva funció de distribució és .



Igualtat en distribució de variables aleatòries

[modifica]

Considerem dues variables aleatòries i , que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per i les seves distribucions. Es diu que i son iguals en distribució o en llei si . En aquest cas, s'escriu Evidentment, si i són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a .

Exemples

[modifica]
  1. Juguem amb un dau perfecte i considerem la variable que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui i la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
  2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i representa el resultat del primer dau i el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau,

Igualtat quasi segura de variables aleatòries

[modifica]

Es diu que dues variables aleatòries (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si . S'escriu

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.

Convergència en llei o distribució de variables aleatòries

[modifica]

Considerem una successió de variables aleatòries i sigui una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució i respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a si Un cas especialment important de convergència en llei és el Teorema central del límit.

Extensió a Rn

[modifica]

Considerem una probabilitat a . La seva funció de distribució és la funció definida per

Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de en negretes; donats i direm que , si Per ,

Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional

definim Per exemple, si , ,

Per , amb , , amb , Vegeu la Figura 1.

Retornant al cas general, tenim on


Propietats de la funció de distribució n-dimensional

La funció té les següents propietats:[9]

(a) Per a qualsevol parell tenim que
(b) És contínua per la dreta: per qualsevol
(c) i

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució -dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a mitjançant Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a i les funcions de distribució -dimensionals.

Distribució o llei d'un vector aleatori

[modifica]

S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori a la probabilitat sobre induïda per ell :

La funció de distribució de és la funció definida per

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions: Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.

També tenim que donada una funció de distribució -dimensional , existeix un espai de probabilitat i un vector aleatori tal que la seva funció de distribució és .[10]

Referències

[modifica]
  1. Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. Introduction to probability. 2a edició. Belmont, Mass.: Athena Scientific, 2008, p. 6. ISBN 978-1-886529-23-6. 
  2. DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 13. ISBN 0-201-64405-3. 
  3. Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 2. ISBN 0-521-55302-4. 
  4. 4,0 4,1 Sato, Ken-iti; 佐藤, 健一. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 174. ISBN 0-521-55302-4. 
  5. Cuppens, Roger. Decomposition of multivariate probabilities. Nova York: Academic Press, 1975, p. 9. ISBN 0-12-199450-3. 
  6. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 43-47. ISBN 84-8338-091-9. . Les demostracions estan fetes utilitzant variables aleatòries, però els arguments es traslladen directament al cas que estem tractant
  7. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 47. ISBN 84-8338-091-9. 
  8. Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 110. ISBN 0-412-05221-0. 
  9. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 66-68. ISBN 84-8338-091-9. 
  10. Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 111. ISBN 0-412-05221-0. 

Bibliografia

[modifica]