Distribució inversa

Distribució inversa

En teoria i estadística de probabilitats, una distribució inversa és la distribució del recíproc d'una variable aleatòria. Les distribucions inverses sorgeixen en particular en el context bayesià de distribucions anteriors i distribucions posteriors per a paràmetres d'escala. En l'àlgebra de variables aleatòries, les distribucions inverses són casos especials de la classe de distribucions de ràtio, en què la variable aleatòria numeradora té una distribució degenerada.

Relació amb la distribució original

En general, donada la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria X amb suport estrictament positiu, és possible trobar la distribució de la recíproca, Y = 1/X. Si la distribució de X és contínua amb la funció de densitat f(x) i la funció de distribució acumulada F(x), aleshores la funció de distribució acumulada, G (y), del recíproc es troba observant que

$G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).$

Aleshores, la funció de densitat de Y es troba com la derivada de la funció de distribució acumulada:

$g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).$

Exemple: distribució uniforme inversa

distribució uniforme inversa

Paràmetres	$0<a<b,\quad a,b\in \mathbb {R}$
Suport	$[b^{-1},a^{-1}]$
fdp	$y^{-2}{\frac {1}{b-a}}$
FD	${\frac {b-y^{-1}}{b-a}}$
Esperança matemàtica	${\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}$
Mediana	${\frac {2}{a+b}}$
Variància	${\frac {1}{a\cdot b}}-\left({\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}\right)^{2}$

Si la variable aleatòria original X es distribueix uniformement a l'interval (a, b ), on a >0, aleshores la variable recíproca Y = 1 / X té la distribució recíproca que pren valors en l'interval (b ⁻¹, a ^{−1 )} . ), i la funció de densitat de probabilitat en aquest rang és

$g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},$

i és zero en qualsevol altre lloc.

La funció de distribució acumulada del recíproc, dins del mateix rang, és

$G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.$